ode ao burgues

Solução comentada da Prova de Matemática
8 questões
01. A figura ao lado mostra quatro rodas circulares, tangentes duas a duas, todas de mesmo raio r e circundadas por uma correia ajustada. Determine o comprimento da correia, em termos de r.

Obs.: despreze a espessura da correia.

Solução: como a correia é tangente às circunferências ela é perpendicular aos raios.Portanto, o comprimento da correia entre dois pontos de tangência consecutivos é igual a 2r. A parte de correia ajustada a cada circunferência é igual a .
Como a correia total é igual a quatro vezes a soma desses comprimentos, obtemos

02. Considere a função real de variável real definida por f(x) = 2–x. Calcule o valor de f(0) – f(1) + f(2) – f(3) + f(4) – f(5) + ...

Solução: basta notar que f(0) = 1, f(1) = , f(2) = , f(3) = , ... Logo a seqüência [f(0), – f(1), f(2), – f(3), ... ] é uma progressão geométrica com a1 = 1 e q = –. Como | q | < 1, a soma dos seus termos é
S =

03. Determine a probabilidade de que ao escolhermos ao acaso um número do conjunto {1, 2, 3, ..., 1000}, esse número seja múltiplo de 3.
Solução: precisamos descobrir a quantidade de múltiplos de 3 no conjunto dado. Os múltiplos de 3 nesse conjunto são:
3, 6, 9, ..., 999, que formam uma progressão aritmética com a1 = 3, r = 3 e an = 999. Mas an = a1 + (n – 1)r, portanto,
999 = 3 + (n – 1)∙3, ou seja, n = 333. Logo a probabilidade requerida é :
.

04. Encontre uma equação da reta tangente à curva x2 – 2x + y2 = 0 no ponto (1, 1).
Solução: preliminarmente vemos que (1, 1) pertence à curva pois 12 – 2 + 1 = 0. Em segundo lugar, observemos que x2 – 2x + y2 = 0 equivale a (x – 1)2 + y2 = 1. Portanto a curva é uma circunferência centrada em (1, 0) e de raio igual a 1.
É importante que o(a) candidato(a) lembre que toda reta tangente a uma circunferência em (xo, yo) é perpendicular à reta definida por (xo, yo) e pelo seu centro. Logo a reta procurada é perpendicular à reta por