Números Naturais e Cardinais

PREFEITURA MUNICIPAL DE PARAGOMINAS
SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO
CAPACITAÇÃO PARA PROFESSORES PARA MELHORIA DO ENSINO VOLTADO À PROVA
BRASIL E À OBMEP
FORMADOR: AUGUSTO LACERDA LOPES DE CARVALHO JÚNIOR

NÚMEROS NATURAIS E NÚMEROSCARDINAIS

PARAGOMINAS
2013

Conjunto dos Números Naturais

O conjunto ℕ dos números naturais é caracterizado pelos seguintes fatos:
 Todo 𝑛 ∈ ℕ tem um sucessor, que ainda é um número natural;  Números diferentes tem sucessores diferentes;
 Existe um único número natural, chamado um e representado pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro;
 Se um conjunto de números naturais contém o número 1 e contém o sucessor de cada um dos seus elementos, então esse conjunto contém todos os números naturais.

No conjunto ℕ dos números naturais são definidas duas operações fundamentais:
 A adição, que associa a cada par de números soma 𝑚 + 𝑛, 𝑒;
 A multiplicação, que faz corresponder ao par produto 𝑚. 𝑛.

𝑚, 𝑛 sua
𝑚, 𝑛 seu

Essas operações são caracterizadas pelas seguintes igualdades, que lhes servem de definição:
𝑚+1= 𝑠 𝑚 ;
𝑚 + 𝑠 𝑛 = 𝑠 𝑚 + 𝑛 , 𝑖. é. , 𝑚 + 𝑛 + 1 = 𝑚 + 𝑛 + 1;
𝑚. 1 = 𝑚;
𝑚. 𝑛 + 1 = 𝑚.

Dados números naturais 𝑚, 𝑛, escreve-se 𝑚 < 𝑛 quando existe 𝑝 ∈ ℕ tal que 𝑛 = 𝑚 + 𝑝. Diz-se então que 𝑚 é menor do que 𝑛.
(PRINCÍPIO DA BOA ORDENAÇÃO) Todo subconjunto não vazio 𝐴 ⊂ ℕ possui um menor elemento.

Exemplo 1 (p. 13) Queremos provar a validez, para todo número natural 𝑛, da igualdade
𝑃 𝑛 : 1 + 3 + 5 + ⋯ + 2𝑛 − 1 = 𝑛2 .
Exemplo 2 (p. 14) Lembremos que um número natural 𝑝 chama-se primo quando não pode ser expresso como produto 𝑝 = 𝑚𝑛 de dois números naturais, a menos que um deles seja 1 (e o outro igual a 𝑝); isto equivale a dizer que os fatores 𝑚, 𝑛 não podem ser ambos menores do que 𝑝. Um resultado fundamental da Aritmética diz que todo número natural é primo ou é um produto de fatores primos.
Provaremos isto por