NumerosComplexos

Números Complexos

Introdução: Um pouco de História
Houve um momento na História da Matemática em que a necessidade de expressar a raiz de um número negativo se tornou fundamental. Em equações quadráticas do tipo:

Temos uma fórmula fechada para sua resolução, que é a fórmula para equações de 2º grau:
Onde:

O número Δ é o discriminante da equação e para:
• Δ > 0, temos 2 raízes reais;
• Δ = 0, temos uma raiz real;
• Δ < 0, não temos nenhuma raiz real e aqui que se encontrava o problema: Como expressar a raiz de Δ se Δ < 0? Isso implicaria em dizer que: qual o número elevado ao quadrado resulta um número negativo?
Então, se tivermos a equação:

Vemos que caímos num caso particular em que a fórmula para a equação de 2º grau não encontra raízes reais. Para contornar este problema, Bombelli admitiu que:

Assim, considerando um novo tipo de número.
Leonard Euler (1707 – 1783) usou em 1777 a letra i para representar o número
, chamando-o de unidade imaginária, pois i2 = -1.
Logo, seria possível encontrar uma solução para a equação:

Fazemos:

Surgiu, assim, um novo tipo de número, chamado por Gauss de Número Complexo, sendo expresso por: Gauss, por volta de 1800, associou a cada número na forma a + bi um ponto P do plano cartesiano, definido pelo par ordenado (a, b):

[Figura 1]
Conseqüentemente, foi criado um novo conjunto numérico chamado de Conjunto dos Números
Complexos e podemos fazer uma representação por diagramas de
Venn:

[Figura 2]

Elementos do Conjunto Complexo
Um número complexo costuma-se ser simbolizado pela letra z. Qualquer elemento de z de C tem a forma: Sendo:
• a a parte Real Re(z)
• b a parte Imaginária Im(z)

Oposto de um Número Complexo
O oposto de um número complexo:
É o número complexo:

Igualdade de Números Complexos
Dois números complexos:

São iguais, se, e somente se:

Adição e Subtração de Números Complexos
Dado dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, temos para a:
Adição:

Subtração:

Conjugado de um Número Complexo
Dado um