numeros complexos

NUMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

Na representação trigonométrica, um número complexo z = a + bi é determinado pelo módulo do vetor que o representa e pelo ângulo que faz com o semi-eixo positivo das abscissas.

Vetor é uma entidade matemática que define grandezas que se caracterizam por módulo, direção e sentido, como por exemplo, velocidade e força.
Um vetor é representado por um segmento de reta orientado. O módulo é expresso pelo comprimento do segmento, a direção é dada pelo ângulo entre a reta suporte e a horizontal, o sentido é dado pela seta.
Quando z = a+bi:

1) Argumento de z é o ãngulo θ , θ = arg(z) ;
2) Módulo de z é o comprimento r = |z| = √ࢇ૛ ൅ ࢈૛ .
O argumento geral de z, é θ+ 2kπ ou θ+ k360° ; o argumento principal é o valor de θ no intervalo -π < θ ≤ π ou -180°< θ ≤ 180°
A partir das relações trigonométricas1 obtêm-se: cos θ = a/r isto é  sen θ = b/r

a = r cos θ

isto é  b = r sen θ

Portanto:
Para o complexo z = a + bi z = (r cos θ) + (r sen θ) i

A representação trigonométrica2 de um complexo z é z = r (cos θ+ i sen θ), com o argumento principal θ = arg(z)

e

r = |z| = √ܽଶ ൅ ܾ ଶ

Ou é z = r (cos (θ + k. 360°)+ i sen (θ + k.360°)) com o argumento geral θ+ k360°
Esta última expressão é importante para o cálculo das raízes de z.
Da relação tg θ = b/a consegue-se o valor de θ.
1

Se você quiser relembrar as relações trigonométrica, assista:

http://www.youtube.com/watch?v=FZLXujO3yw8 http://www.youtube.com/watch?v=YRt4Ni73954&NR=1 2

Se você quiser saber mais sobre a representação trigonométrica de um complexo, veja:http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo03.htm APLICATIVO 1
Este aplicativo é em português e permite a visualização de diferentes exemplos para a transformação de complexos da

forma algébrica para a

trigonométrica e vice versa. É essencial para o entendimento.
http://www.drec.minedu.pt/Eviprof/resources/school7/files/trab2/complejos4.htm