Numeros Complexos

402 palavras 2 páginas
UNIVERSIDADE DA REGIÃO DE JOINVILLE – UNIVILLE
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA

NÚMEROS COMPLEXOS

JOINVILLE
NOV/2012

1. DEFINIÇÃO

Os números complexos apareceram como uma extensão dos números reais. O seu conjunto representa-se por C e define-se como sendo C = {z = a+ ib: a, b  R e i2 = -1}, onde R representa o conjunto dos números reais. Dizemos que a é a parte real de z, e escrevemos Re(z) = a. Por outro lado, b é a parte imaginária de z, e escrevemos Im(z) = b.
Se x = 0, dizemos que z é um número imaginário puro;
Se y = 0 temos que z é um número real puro (ou simplesmente um número real).

Exemplo: Dado o número complexo z = 3 + 2i,
Temos Re(z) = 3 e Im(z) = 2

2. OPERAÇÕES (ADIÇÃO; SUBTRAÇÃO; MULTIPLICAÇÃO; DIVISÃO)

Consideremos os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di ou, na forma trigonométrica, z1 = r1cisq1 e z2 = r2cisq2

2.1 ADIÇÃO

Algebricamente, a soma é na forma: z1 + z2 = a + c + (b + d)i
Na notação trigonométrica não há como simplificar.
De notar que, se z e w forem dois complexos: z + w = w + z.

Considerando os números como vectores, geometricamente, a soma de complexos não passa da soma dos vectores que os representam pela "regra do paralelogramo".

2.2 SUBTRAÇÃO

A subtração de z1 por z2 não é mais que a soma de z1 com o simétrico de z2, ou seja, z1 - z2 = z1 + (-z2).

Geometricamente, considerando os números como vectores, a subtracção corresponde à adição do primeiro vector com o simétrico do segundo vector.

2.3 PRODUTO

O produto de z1 por z2 é o número complexo z1.z2 = (ac - bd) + (ad + cb)i ou, na forma trigonométrica z1.z2 = r1r2cis(q1 + q2) . Vejamos a interpretação geométrica do produto de dois complexos, z1 = a + ib e z2 = c + id. Esta operação não corresponde, directamente, a nenhuma operação conhecida entre vectores. Suponhamos que z2 é um número real, isto é, que d = 0; então o produto de z1 por z2 corresponde ao produto do vector (a,

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