Notasdeaulasobrederivadas

Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática

Derivadas

O

principal objetivo dessa aula é apresentar o conceito de derivadas.

Vamos começar apresentando a derivada como o coeficiente angular da reta tangente em um ponto e como a taxa de variação de uma

variável em relação a outra. Também veremos o conceito formal de derivadas, as regras de derivação, além das derivadas das funções mais usuais. Veremos como calcular a derivada de funções compostas e funções inversas.

Ao final dessa aula, o estudante deve ser capaz de:
•

Entender o que é a derivada de uma função;

•

Saber calcular a derivada de uma função através das regras de derivação;

•

Compreender a derivada de uma função graficamente.

•

Derivar funções compostas;

•

Derivar funções inversas;

mo
Va

Começ

ar

s

Seja y = f ( x ) uma curva definida no intervalo (a, b ) , conforme ilustrado abaixo:

y

Q

f ( x2 )

f ( x1 )

s

P

a x1

Notas de Aula - Calculo I - Derivadas

x2

b

x

1

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Sejam P( x1 , f ( x1 )) e Q( x 2 , f ( x 2 )) dois pontos distintos da curva y = f ( x ) e s, a reta secante que passa pelos pontos P e Q.
Vamos denotar a diferença entre as abscissas de Q e de P por ∆x , assim:

∆x = x 2 − x1

A inclinação da reta secante s é dada por: ms =

f ( x 2 ) − f ( x1 )
∆x

desde que a reta s não seja vertical. Como x 2 = x1 + ∆x , a inclinação da reta s pode ser escrita como: ms =

f ( x1 + ∆x ) − f ( x1 )
∆x

Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direção a
P. Isto equivale a dizer que ∆x tende a zero. À medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, a inclinação da reta secante varia cada vez menos, tendendo pra um valor limite constante.

y

Q

P

x

Notas de Aula - Calculo I - Derivadas

2

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Esse valor limite é chamado inclinação da reta tangente à curva no ponto P, ou também inclinação da curva em P.
Definição: Dada uma