Notasdeaulas1

Universidade Federal de Juiz de Fora
Instituto de Ciˆ encias Exatas
Departamento de Matem´ atica C´ alculo I
Notas de aulas da disciplina
C´alculo I - MAT154 - Turmas F e H - 2015/1

La´ ercio Jos´ e dos Santos [e-mail] Juiz de Fora - MG
Mar¸co de 2015

Introdu¸c˜ ao Para discutirmos o tipo de quest˜oes que se estuda em C´alculo, comecemos considerando o seguinte problema.

Problema: Construir um reservat´orio de ´agua, com volume fixo, na forma de um cilindro circular reto. O problema proposto aqui ´e determinar as dimens˜oes do reservat´orio de tal forma que o custo do material a ser utilizado seja o menor poss´ıvel.

O primeiro passo ´e determinar um modelo matem´atico que represente esse problema. Um modelo matem´atico ´e uma maneira de descrever, de forma aproximada, um problema concreto atrav´es da linguagem matem´atica. Nesse processo algumas informa¸c˜oes s˜ao descartadas ou consideradas fixas e outras s˜ao preservadas, de acordo com a percep¸c˜ao ou com os objetivos da pessoa que est´a escrevendo o modelo. Nesse caso, por exemplo, vamos considerar que a espessura da parede, do piso e da tampa do reservat´orio s˜ao predeterminadas por quest˜oes t´ecnicas. Depois disso, usamos as t´ecnicas matem´aticas dispon´ıveis para analisar o modelo e obter uma resposta aproximada para o problema. Vale ressaltar que um resultado obtido atrav´es de um modelo matem´atico ´e uma aproxima¸ca˜o do real e n˜ao o real em si.
Denotemos por V0 o volume do reservat´orio, por q1 , q2 e q3 as espessuras da parede, do piso e da tampa, respectivamente, e por p1 , p2 e p3 os custos dos materiais da parede, do piso e da tampa, respectivamente. Esses s˜ao os parˆametros ou as constantes dadas pelo tipo de material que ser´a utilizado. Denotemos por r e h o raio e a altura do reservat´orio. Essas s˜ao as vari´aveis do modelo, a serem determinadas. Sabemos que
V0 , r e h est˜ao relacionados pela express˜ao V0 = πr2 h e, como V0 ´e constante, podemos obter uma vari´avel em