NOTAS LAPLACE

Páginas: 59 (14548 palavras) Publicado: 17 de setembro de 2014
Marcio Antonio Jorge da Silva

NOTAS DE AULA:
A Transformada de Laplace

2012

Sum´rio
a
1 Introdu¸˜o
ca
1.1

2

Biografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 A Transformada de Laplace

3
5

2.1

Defini¸˜o e Exemplos Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca

5

2.2

Transforma¸ao Linear . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


8

2.3

Mais Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Propriedades da Transformada de Laplace

13

3.1

Propriedades Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2

Teoremas de Transla¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
ca

3.3

OTeorema de Convolu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
ca

3.4

A fun¸˜o de Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
ca

4 Aplica¸˜es em Equa¸˜es Diferenciais
co
co

33

4.1

Equa¸˜es Lineares de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
co

4.2

Exerc´
ıcios de Fixa¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 37
ca

4.3

Equa¸˜es Lineares de Ordem Superior
co

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5 Mais Aplica¸˜es em Equa¸˜es Diferenciais
co
co

44

5.1

O sistema massa-mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2

Fun¸˜es Impulso: O Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
co

5.3

Equa¸˜oIntegro-Diferencial de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
ca

5.4

Exerc´
ıcios de Fixa¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
ca

6 Fra¸˜es Parciais: Uma breve revis˜o
co
a

56

Referˆncias Bibliogr´ficas
e
a

61

1

Introdu¸˜o
ca
A transforma¸˜o linear que estudaremos a seguir ´ o operador integral conhecido como
ca
e

Transformada deLaplace 1 . Esta transformada constitui-se de um importante instrumento
na resolu¸˜o de Equa¸˜es Diferenciais Ordin´rias (EDO) Lineares a coeficientes constantes
ca
co
a
quando os m´todos tradicionais e t´cnicas elementares n˜o se mostram eficientes. O
e
e
a
m´todo consiste em transformar uma equa¸˜o diferencial em uma Equa¸˜o Alg´brica
e
ca
ca
e
(EA) que envolve as condi¸˜es iniciaise, utilizando um processo de invers˜o, obt´m-se a
co
a
e
solu¸˜o da equa¸˜o diferencial em quest˜o.
ca
ca
a
A no¸˜o intuitiva da Transformada de Laplace est´ expressada nas figuras a seguir
ca
a

f(t)

L
EDO

F(s)

L

-1

L

-1

Solução

EA

L

f(t)

Inicialmente, vamos aplicar a Transformada de Laplace em v´rias fun¸˜es numa classe
a
co
espec´
ıfica. Emseguida, passaremos a obten¸˜o de resultados e propriedades mais imporca
tantes da transformada. Uma boa parte destas notas ser´ dedicada a compreens˜o de
a
a
como a Transformada de Laplace atua em certas fun¸˜es e quais as propriedades b´sicas
co
a
de tais transformadas. Para enfatizar a importˆncia da Transformada de Laplace, apa
resentaremos ferramentas importantes como o Teorema daConvolu¸˜o, as Fun¸˜es de
ca
co
Green e a Fun¸˜o Gama, entres outras, com intuito de ampliar a classe de problemas a
ca
serem estudados.
Para obter um bom desempenho no estudo da Transformada de Laplace ´ necess´rio
e
a
que se tenha um conhecimento b´sico sobre as EDO’s lineares e, tamb´m, que se recorde
a
e
alguns conceitos sobre limites, continuidade, derivadas e integrais (impr´prias) defun¸˜es
o
co
1

Uma breve biografia de Laplace ´ dada a seguir
e

2

reais. Um bom manejo com fra¸˜es parciais pode ajudar na resolu¸˜o de tranformadas
co
ca
inversas. Ao final destas notas, uma breve revis˜o sobre fra¸˜es parciais ´ feita com o
a
co
e
objetivo de relembrar o assunto para os leitores convenientes.

1.1

Biografia

Figura 1: Pierre Simon Laplace (1749-1827)...
Ler documento completo

Por favor, assinar para o acesso.

Estes textos também podem ser interessantes

  • Laplace
  • Laplace
  • Laplace
  • laplace
  • Laplace
  • Laplace
  • Laplace
  • Laplace

Seja um membro do Trabalhos Feitos

CADASTRE-SE AGORA!