Notas de métodos numéricos

Páginas: 36 (8937 palavras) Publicado: 27 de setembro de 2011
Assunto página
1. Noções sobre Erros 3
1.1 Introdução 3
1.2 Representação de Números 4
1.2.1 Conversão de Números Inteiros 4
1.2.2 Conversão de Números Fracionários 5
1.2.3 Aritmética de Ponto Flutuante 6
1.3 Tipos de Erros 7
1.3.1 Introdução 7
1.3.2 Erros Absoluto, Relativo e Percentual 8
1.3.3 Erros de Arredondamento e Truncamento em um Sistema de APF 8
1.3.4 Análise deErros em APF 9
2. Raízes de Funções 10
2.1. Introdução 10
2.2. Revisão de Polinômios 10
2.2.1 Localização de raízes 10
2.3. Localização/Isolamento de raízes 12
2.4. Refinamento de Raízes 13
2.4.1 Introdução 13
2.4.2 Métodos Iterativos 13
2.5 Exercícios 14
3. Sistemas de Equações Lineares 16
3.1 Introdução 16
3.1.1 Tipos de Matrizes/Revisão 16
3.1.2 Aritmética Matricial/Revisão 16
3.1.3Erros Computacionais no Cálculo Numérico de Sistemas de Equações Lineares 16
3.1.4 Etapas de resolução de um Sistema de Equações Lineares 17
3.1.5 Sistemas Lineares Triangulares 17
3.1.6 Transformações elementares 17
3.1.7 Sistemas Lineares Equivalentes 17
3.2 Métodos Diretos 18
3.2.1 Introdução 18
3.2.2 Método da Eliminação de Gauss 18
3.2.3 Refinamento de Soluções de Sistemas de EquaçõesLineares 20
3.2.4 Cálculo de Determinantes através do Método de Gauss sem Pivoteamento Parcial 20
3.2.5 Método da Diagonalização de Gauss-Jordan 20
3.2.6 Cálculo da Inversa de uma matriz quadrada usando Gauss-Jordan sem Pivoteamento 21
3.2.7 Fatoração LU 21
3.2.8. Fatoração LU com Pivoteamento Parcial 21
3.3 Métodos Iterativos 23
3.3.1 Introdução 23
3.3.2 Testes de Parada 23
3.3.3 MétodoIterativo de Gauss-Jacobi 24
3.3.4 Método Iterativo de Gauss-Seidel 25
3.4 Comparação entre os Métodos 27
4. Interpolação Polinomial 28
4.1 Introdução 28
4.2 Método de Lagrange 29
4.3 Método de Newton 30
4.3.1 Operador de Diferenças Divididas 30
4.3.2 O Polinômio Interpolador de Newton 30
4.4 Método de Newton-Gregory 32
4.4.1 Operador de Diferenças Finitas 32
4.4.2. O PolinômioInterpolador de Newton-Gregory 32
4.5 Splines 33
4.5.1 Introdução 33
4.5.2 Splines Cúbicos 33
4.5.3 Dedução da fórmula dos splines 34
4.6 Interpolação Inversa 37
5. Ajuste de Curvas 38
5.1 Introdução 38
5.2 O Método dos Mínimos Quadrados 38
5.3 Caso Não Linear 40
6. Integração Numérica 41
6.1 Introdução 41
6.2 Fórmulas de Newton-Côtes 41
6.2.1 Regra dos Trapézios ( n = 1) 41
6.2.2 Regra deSimpson 43
6.2.3 Fórmulas Repetidas 44
6.2.4 Integrais Duplas 46
7. Solução Numérica de Equações Diferenciais de 1ª Ordem 47
7.1 Introdução/Método de Euler 47
7.2 Método de Euler Melhorado, Método de Heun ou Runge-Kutta de 2ª Ordem 47
7.3 Método de Runge-Kutta de 3ª Ordem 47
7.4 Método de Runge-Kutta de 4ª Ordem 47

1. Noções sobre Erros
1.1 Introdução
Modelagem ResoluçãoPROBLEMA FÍSICO MODÊLO MATEMÁTICO SOLUÇÃO
Modelagem - É a fase de obtenção de um modelo matemático que descreve o comportamento do sistema físico em questão.
Resolução - É a fase de obtenção da solução do modelo matemático através da aplicação de métodos numéricos ( escolha do método numérico adequado, implementação computacional deste método e análise dos resultados obtidos ).
Obs 1:- Conforme aanálise dos dados, pode ser necessário reformular o modelo matemático e/ou escolher um novo método numérico.
Exemplo 1:- Calcular a área de uma circunferência de raio igual a 100m
Respostas: a) 31.400 m2 b) 31.416 m2 c) 31.415,92654 m2
Qual é a resposta correta?
Exemplo 2:- Calcular S =para xi = 0,5 e xi = 0,11
Respostas: a) para xi = 0,5, S = 1.500 na calculadora e no computadorb) para xi = 0,11, S = 330 (na calculadora) e S = 329,999691 (no computador)
Os erros ocorridos nos dois exemplos dependem da representação de números na máquina utilizada. A representação de um número depende da base escolhida ou disponível na máquina em uso e do número máximo de dígitos usados na sua representação. Um número pode ter representação finita em uma base e não finita em outras...
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