Notas de EDO

Luciana Miranda de Souza

Notas de Aula de Equa¸ c˜ oes
Diferenciais Ordin´ arias agosto de 2012

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Introdu¸c˜ ao Quando falamos de equa¸co˜es diferenciais, temos a ideia de que estamos nos referindo a algum tipo de equa¸ca˜o envolvendo derivadas. De fato, uma equa¸ c˜ ao diferencial ´e uma equa¸c˜ao em que a inc´ognita ´e uma fun¸c˜ao que ´e dada sob a forma de suas respectivas derivadas. Estas derivadas podem ser de primeira ordem, segunda ou de qualquer ordem de deriva¸ca˜o.
Matematicamente, uma equa¸ca˜o diferencial ´e descrita da seguinte forma:
F (x, y(x), y (x), y (x), ..., y (n) (x)) = 0 ou seja, ´e uma igualdade envolvendo uma fun¸c˜ao inc´ognita y = y(x) e suas derivadas (ou suas diferenciais). Nesta express˜ao, x ´e dita vari´ avel independente e y ´e a vari´ avel dependente.
(k)
O s´ımbolo y (x) denota a derivada de ordem k da fun¸ca˜o y = y(x).
Vejamos alguns exemplos: y (5) (x) + 3y (x) − y(x) = 7
(sen x)y (x) + (y(x))2 = y (x) y (x) =

x2 + xy(x) + (y(x))2 x2 ut (x, t) = 3uxx (x, t) utt (x, t) = uxx (x, t) + ux (x, t)
Nos trˆes primeiros exemplos, notamos que a vari´avel dependente ´e y(x), ou seja, ´e uma fun¸ca˜o de uma vari´avel independente x, enquanto nos dois u
´ltimos, a vari´avel dependente ´e uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis independentes (x, t) e por isso nestas equa¸co˜es aparecem as derivadas parciais de u(x, t).
Em decorrˆencia destas difereren¸cas, precisamos classificar as equa¸co˜es para podermos agrup´a-las e estud´a-las separadamente.

1.1

Classifica¸ c˜ ao de Equa¸ c˜ oes Diferenciais

Classificaremos as equa¸c˜oes diferencias segundo trˆes crit´erios:
1.1.1

Quanto ao tipo:

Vimos nos exemplos acima que a solu¸c˜ao de uma equa¸ca˜o diferencial pode ser uma fun¸ca˜o de uma ou de v´arias vari´aveis. No primeiro caso, na equa¸c˜ao aparecem condi¸co˜es sobre as derivadas da fun¸ca˜o. Mas se a solu¸c˜ao tiver mais de uma vari´avel, as condi¸co˜es s˜ao sobre as derivadas parcias.
Por isso, dividimos as equa¸co˜es diferenciais em