Navier stokes

MEC / UFRGS / IPH / DHH IPH01-107 - MECÂNICA DOS FLUÍDOS LISTA DE EXERCÍCIOS IX - EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES Profa Nara M. Luzzi Rosauro

22/03/04

Soluções simplificadas das equações de Navier-Stokes 1) Um fluído viscoso e incompressível escoa entre duas placas planas verticais conforme mostra a figura 1. Assuma que o escoamento é laminar, permanente e uniforme. a) determine, usando as equações de Navier-Stokes, uma expressão para o gradiente de pressões na direção do escoamento. Expresse dp/dy como uma função da vazão por unidade de largura (q). b) diga qual seria a vazão se dp/dy = 0 ? Resp: a) dp/dy = -[γ +(3 q µ / 2 h3 )]; b) q = - 2h3 γ / (3 µ) 2) Na instalação da figura 2, a esteira móvel tem uma velocidade periférica U. Sendo o peso a única força de campo que atua no escoamento, determine a vazão (q) em função: da espessura de fluído entre a esteira móvel e o plano inclinado (e), da diferença de altura entre a entrada e a saída (h) e do comprimento total (L).  γ h 3 U Resp: q =   e −   12 µ L  e  2   3) Uma esteira larga movendo-se com velocidade vertical, passa através de um recipiente que contém um líquido viscoso (figura 3). Devido às forças viscosas a esteira "pega" uma lâmina de fluído de espessura h. A gravidade tende a drenar o fluído para baixo. Use as equações de Navier-Stokes para determinar uma expressão para a velocidade média da lâmina de fluído à medida que ela é arrastada para cima pela esteira. Assuma que o escoamento é laminar, permanente e uniforme. Resp: V = Vo - (γ h2 / 3 µ) Solução: 1) Neste problema temos apenas a componente em y da velocidade e esta é uma função apenas de x para escoamento plenamente desenvolvido. Assim, temos: u=w=0 v = v (x) Para que haja escoamento devemos ter um gradiente de pressão na direção y, ou seja, devemos ter As equações de Navier-Stokes ficam: ∂p ∂p ⇒ =0 ∂x ∂x ∂p ∂p ⇒ =0 em z : 0=ρgz − ∂z ∂z ∂p ∂2v +µ 2 em y : 0=ρgy − ∂y ∂x a) Substituindo gy = -g em (1), e sendo v = v(y) : em x : 0=ρgx −