Números Complexos - Vetor

Páginas: 5 (1103 palavras) Publicado: 15 de maio de 2014
Número Complexo
Todo que pode ser escrito da forma: z = a + b . i
a = parte real
b = parte imaginária
Igualdade de complexos
a + bi = c + di se e somente se a = b e c = d
Oposto de um complexo
- z = - a - bi
Conjugado de um complexo

Soma de complexos
z = a + bi w = c + di z + w = (a + b) + (c + d) i
Multiplicação de complexos
z = a + bi w = c + di
Ex 1: Calcule z . w =Divisão de complexos
Multiplicar o denominador pelo seu conjugado.






Forma Trigonométrica ou Polar
Plano de Argand-Gauss

z = x + yi pode ser representado pelo ponto P acima, onde
(módulo de z)
z = |z| . (cos θ + i . sen θ) = |z| . cis θ
θ = argumento de z
P(x, y) é chamado de afixo de z
Ex 3: Escrever os seguintes complexos na forma polar.
a) 4



b) 3i



c)OBS: A forma trigonométrica é útil para calcularmos o produto, potenciação e radiciação de complexos, sem precisarmos efetuar algebricamente.
1. Multiplicação
z = a + bi w = c + di
|z . w| = |z| . |w|
θzw = θz + θw
Ex 4: Calcule z1 . z2 , sendo








2. Potenciação
zn = (|z|)n . (cos nθ + i . sen nθ) = (|z|)n . cis nθ
Ex 5:














3. Radiciaçãoonde
OBS: A operação de radiciação serve para calcular todas as raízes (reais e complexas) de uma equação xn + b = 0
Ex 6: Calcule todas as raízes de x3 - 8 = 0. R:2, -1±isqr3










Exercícios
1) (UFF 2009) No período da “Revolução Científica”, a humanidade assiste a uma das maiores invenções da Matemática que irá revolucionar o conceito de número: o número complexo. RafaelBombelli (1526 – 1572), matemático italiano, foi o primeiro a escrever as regras de adição e multiplicação para os números complexos. Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela que indica uma afirmação incorreta. R:d
A) o conjugado de (1 + i) é (1-i)
B) |1 + i| =
C) (1 + i) é raiz da equação z² – 2z + 2 = 0
D) (1 + i) -1 = (1 – i)
E) (1 + i) ² = 2i
2) (UERJ 2005) João desenhou um mapado quintal de sua casa, onde enterrou um cofre. Para isso, usou um sistema de coordenadas retangulares, colocando a origem O na base de uma mangueira, e os eixos OX e OY com sentidos oeste-leste e sul-norte, respectivamente. Cada ponto (x, y), nesse sistema, é a representação de um número complexo z = x + iy x ∈ IR, y ∈ IR e i2 = −1. Para indicar a posição (x1, y1) e a distância d do cofre àorigem, João escreveu a seguinte observação no canto do mapa: x1 + iy1 = (1+i)9
Calcule:
A) as coordenadas (x1, y1); R:(16,16)
B) o valor de d. R:16sqr2
3) (UNIRIO 1996) Se z1 e z são números complexos representados pelos seus afixos no Plano de Argand-Gauss ao lado, então z3 = z1. z2 escrito na forma trigonométrica é: R:E
a) (cos 225° + i sen 225°)
b) (cos 315° + i sen 315°)
c) 2 (cos 45°+ i sen 45°)
d) 2 (cos 135° + i sen 135°)
e) 2 (cos 225° + 1sen 225°)
4) (UERJ 2004) Considere os números complexos da forma z(t) = 3t + t . i, na qual t ∈ R e i é a unidade imaginária. Os pares ordenados (x, y), em que x e y são, respectivamente, a parte real e a parte imaginária do número complexo z, definem o gráfico de uma função da forma y = f(x). A função representada pelo gráfico assimdefinido é classificada como:
a) linear b) quadrática
c) exponencial d) logarítmica
5) (UFF 2001) O número complexo z, |z| > 1, está representado geometricamente a seguir.



A figura que pode representar, geometricamente, o número complexo z2 é: R:C
















6) (UFRRJ 2001) Para que a equação 2x2 + px + q = 0, com p e q reais, admita o número complexo Z = 3 - 2 icomo raiz, o valor de q deverá ser R:D
a) 10. b) 12. c) 13. d) 26. e) 28.
7) (UFF 2002) Três números são representados, no plano complexo, sobre uma circunferência com centro na origem, dividindo-a em três partes iguais. Sabendo que um dos números é (- i), determine os outros dois. R:2i e --i
8) (UNIRIO 2008) Determine o valor dos coeficientes reais a, b e c do polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx...
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