Números Complexos - Vetor

Número Complexo
Todo que pode ser escrito da forma: z = a + b . i a = parte real b = parte imaginária
Igualdade de complexos a + bi = c + di se e somente se a = b e c = d
Oposto de um complexo
- z = - a - bi
Conjugado de um complexo

Soma de complexos z = a + bi w = c + di z + w = (a + b) + (c + d) i
Multiplicação de complexos z = a + bi w = c + di
Ex 1: Calcule z . w =

Divisão de complexos
Multiplicar o denominador pelo seu conjugado.

Forma Trigonométrica ou Polar
Plano de Argand-Gauss

z = x + yi pode ser representado pelo ponto P acima, onde (módulo de z) z = |z| . (cos θ + i . sen θ) = |z| . cis θ θ = argumento de z
P(x, y) é chamado de afixo de z
Ex 3: Escrever os seguintes complexos na forma polar.
a) 4

b) 3i

c)

OBS: A forma trigonométrica é útil para calcularmos o produto, potenciação e radiciação de complexos, sem precisarmos efetuar algebricamente.
1. Multiplicação z = a + bi w = c + di
|z . w| = |z| . |w| θzw = θz + θw
Ex 4: Calcule z1 . z2 , sendo

2. Potenciação zn = (|z|)n . (cos nθ + i . sen nθ) = (|z|)n . cis nθ
Ex 5:

3. Radiciação

onde
OBS: A operação de radiciação serve para calcular todas as raízes (reais e complexas) de uma equação xn + b = 0
Ex 6: Calcule todas as raízes de x3 - 8 = 0. R:2, -1±isqr3

Exercícios
1) (UFF 2009) No período da “Revolução Científica”, a humanidade assiste a uma das maiores invenções da Matemática que irá revolucionar o conceito de número: o número complexo. Rafael Bombelli (1526 – 1572), matemático italiano, foi o primeiro a escrever as regras de adição e multiplicação para os números complexos. Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela que indica uma afirmação incorreta. R:d
A) o conjugado de (1 + i) é (1-i)
B) |1 + i| =
C) (1 + i) é raiz da equação z² – 2z + 2 = 0
D) (1 + i) -1 = (1 – i)
E) (1 + i) ² = 2i
2) (UERJ 2005) João desenhou um mapa