Métodos Numéricos

Chapter 1

Sobre Erros
1.1

Introdu¸c˜ ao Podemos distinguir v´ arios tipos de erros que podem limitar a precis˜ ao dos resultados de c´ alculos, 1. erros inerentes;
2. erros de arredondamento;
3. erros de aproxima¸ca˜o.
Os erros inerentes est˜ ao al´em do controle do c´ alculo e surgem, em geral, na aquisi¸ca˜o de dados, que podem ser obtidos com instrumentos que possuem uma precis˜ ao limitada.
Os erros de arredondamento surgem quando realizamos os c´ alculos com n´ umeros cuja representa¸ca˜o ´e restrita a um n´ umero finito de d´ıgitos, como ´e o caso dos computadores digitais.
Vejamos o terceiro tipo de erro. Muitos m´etodos n˜ ao fornecem a solu¸ca˜o exata de um problema
P , mesmo que os c´ alculos sejam realizados sem erros de arredondamento, eles fornecem, na verdade, a solu¸ca˜o de um outro problema mais simples P que aproxima o problema P . Por exemplo, seja P o problema de somar os termos de uma s´erie infinita como abaixo,
1
1
1
1 e= + + + +···
1! 2! 3! 4! este problema pode ser substitu´ıdo por um problema P mais simples de somar somente um n´ umero finito de termos da s´erie. Isto ´e
1
1
1
e ≈ 1+ + +···+
2! 3! n! Muitas aproxima¸co˜es de problemas s˜ ao obtidas por discretiza¸ca˜o do problema original: por exemplo, integrais definidas s˜ ao aproximadas por somas finitas, diferenciais por diferen¸cas, etc.. Em tais casos os erros de aproxima¸ca˜o s˜ ao tamb´em chamados erros de discretiza¸ca˜o. Estes tipos de erros ser˜ ao discutidos individualmente, sempre que poss´ıvel, para cada m´etodo estudado.

1.2

Representa¸c˜ ao de N´ umeros Por raz˜ oes t´ecnicas, a maioria dos computadores digitais representam os n´ umeros internamente na forma bin´ aria, ao inv´es da decimal.
1

2
Os computadores fazem uso de um n´ umero finito e fixo de posi¸co˜es quando internamente representam um n´ umero, o comprimento da palavra. Esse n´ umero n ´e determinado pela constru¸ca˜o da m´ aquina,