Métodos Iterativos para Equações Não Lineares

Métodos Iterativos para Equações Não Lineares
Pretendemos aproximar soluções (também designadas como raízes) de equações da forma : f ( x ) = 0 onde f deverá ser, pelo menos, uma função contínua numa vizinhança da raiz.
Se resolver uma equação linear ax+b=0 é trivial, o mesmo já não se passa se considerarmos uma função f mais complicada. Comecemos por considerar, por exemplo, as equações x4 - 4 x3 - x + 5 = 0 ou 2 ex - x sin(x+3) = 0.
São ambas equações não lineares. No primeiro caso, apesar de existir uma fórmula resolvente geral, é complicada, e no segundo caso não existe. Para este tipo de equações temos, no entanto, a possibilidade de encontrar soluções usando métodos iterativos simples.
Um método iterativo, consiste de um modo geral, numa aproximação inicial x0, também designada iterada inicial,

e num processo de obter sucessivamente novas iteradas xn+1 a partir das anteriores xn, ...

Desta forma, pretendemos obter uma sucessão que convirja para z, solução da equação f(x)=0, também designada por raiz da equação, ou zero da função f. Começamos por rever alguns resultados base.

Localização de Raízes
Traçando o gráfico da função, podemos ter uma ideia aproximada da localização das raízes, mas para assegurarmos rigorosamente que, num intervalo, existe uma e uma só raiz, recordamos alguns teoremas elementares da análise:
Teorema (do Valor Intermédio):
Seja f uma função contínua no intervalo [a,b].
Se f(a) f(b) 0 ou f ''(x) 0 para qualquer x em [a, b]

então a equação f(x) = 0 tem uma solução única z [a,b] e o método de Newton converge monótona e quadraticamente para essa solução (para os x0 que verificarem 4)).
Se a condição
4') | f(a) / f '(a) | < | a - b | e | f(b) / f '(b) | < | a - b |

for verificada então x1 verifica 4) havendo convergência x0[a,b].

Fórmula do Erro do Método de Newton
Obtém-se, facilmente, através do desenvolvimento em série de Taylor (em torno de xn): f(z) = f(xn) + f'(xn ) (z - xn) + ½ f''(n )