Método gauss-seidel

Dispositivo prático de Gauss – Seidel
- SL com três equações :
Dado o SL diagonalizado (SL com a diagonal principal dominante)

a11.x  a12. y  a13.z  b1  a21.x  a22. y  a23.z  b2 a . x  a . y  a . z  b 32 33 3  31 x a11 a21 a31 x0  b1 a11

y a12 a22 a32 y0  b2 a 22

z a13 a23 a33 z0  b3 a33

b

b1 b2 b3

K=0 K=1 K=2 K=3

x1 

b1  a12 . y 0  a13. z 0 a11

y1 

b1  a12. y1  a13. z1 a11 b  a .y  a z x3  1 12 2 13. 2 a11 b  a .y  a z x4  1 12 3 13. 3 a11 x2 
 xn1  xn  ε

b2  a 21.x1  a 23 .z 0 a 22 b  a21.x2  a23.z1 y2  2 a22

z1  z2 

b3  a31. x1  a32 . y1 a33 b3  a31. x2  a32 . y2 a33

y3  y4 

b2  a21.x3  a23.z 2 a22 b2  a21.x4  a23.z 3 a22
 y n1  y n  ε

z3 

b3  a31. x3  a32 . y3 a33

z4 

b3  a31. x4  a32 . y4 a33
 z n1  z n  ε

 K=n

EXEMPLO
 x  2. y  8.z  16 Determine o vetor solução do sistema 5.x  y  2.z  15 usando o método de Gauss – Seidel. admitindo  2.x  7. y  3.z  28  Diagonalizar o SL ε  0,01

 x  2. y  8.z  16 5.x  y  2.z  15   5.x  y  2.z  15 ~ 2.x  7. y  3.z  28 2.x  7. y  3.z  28  x  2. y  8.z  16  

x
5 2 1
15 3 5 15  1.(4)  2.(2) x1   1,40 5 xo  yo 

y
1 7 2
28 4 7 28  2.(1,40)  3.(2) y1   2,743 7 zo 

z
2 3 8
16 2 8 16  1.(1,4)  2.(2,743) z1   1,139 8

b
15 28 16

K=0

K=1

x2 

15  1.(2,743)  2.(1,139  1,996
5

y2 

28  2.(1,996)  3.(1,139)  2,942 7

z2 

16  1.(1,996)  2.(2,942)  1,015 8

K=2

x3  x4 

15  1.(2,942)  2.(1,015  2,006
5

y3  y4 

28  2.(2,006)  3.(1,015)  2,992 7
28  2.(2,001)  3.(1,001)  2,999 7

z3 

16  1.(2,006)  2.(2,992)  1,001 8

K=3

15  1.(2,992)  2.(1,001  2,001
5

z4 

16  1.(2,001)  2.(2,999)  1,000 8

- SL com quatro equações :
a11.x  a12 . y  a13 .z  a14 .t  b1 a .x  a . y  a .z  a .t  b  21 22 23 24 2  a31.x  a32