MÉTODO DE NEWTON

UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA (DEME)
MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA I

MÉTODO DE NEWTON

Caxias do Sul – 23 de Maio de 2006.

MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON

O Método de Newton é um método iterativo ( provém do latim iterate, “repetir”, “fazer de novo”) e tem por finalidade descobrir os zeros de uma função diferenciável f. Esse método se baseia na suposição que a reta tangente corta o eixo x praticamente no ponto que o gráfico corta o referido eixo.

Para implementar analiticamente o método precisamos obter um fórmula que nos auxilie calcular uma aproximação aperfeiçoada r a partir de uma aproximação precedente (x1, x2, x4, ...) baseando-se nisso utilizamos a seguinte fórmula:

y - f (x1) = f ' (x1) (x – x1) - equação da reta tangente na aproximação inicial x1.

Se f ' (x1) for diferente de zero então esta reta corta o eixo x em algum ponto (x2, 0)
Substituindo-se:

0 - f (x1) = f ' (x1) (x2 – x1)

Resolvendo-se em x2, obtemos:

- f (x1) / f ' (x1) = x2 - x1 x2 = x1 - f (x1) / f ' (x1)

Assim sendo se considerarmos a aproximação inicial como x2 e x3 como a nova aproximação substituiríamos x2 no lugar de x1 e x3 desde que f ' (x2) fosse diferente de zero.
Assim se xn é a aproximação inicial a aproximação melhorada vai ser xn+1, é dada por:

xn+1 = xn – f (xn) / f ' (xn) onde: n = 1, 2, 3, 4, ...

Atenção: (a derivada de xn (f ‘ (xn)) deverá ser sempre diferente de zero).

O método de Newton não funciona quando temos f' (xn) = 0; uma vez que aplicado na fórmula teremos uma divisão por zero, o que torna impossível gerar xn +1.
Ele também pode não funcionar quando ele ignorar a raiz que estamos tentando achar e expressar uma outra raiz, sendo que pode também não expressar. Como se pode ver pelo exemplo:

X1/3 = 0; temos como única solução x=0. Para f (x) =