Máquinas síncronas

FEELT/UFU - Circuitos Elétricos I – Capítulo III

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Cap. III – ANÁLISE DE CIRCUITOS EM REGIME
TRANSITÓRIO
1. CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM
1.1. Equação diferencial de 1a ordem
Expressão geral de uma equação diferencial de primeira ordem:

dx 1
+ x = k f (t) dt τ

(01)

onde: x = resposta a ser determinada (x pode ser substituído por i ou v) τ = constante de tempo (s) k = constante f(t) = função correspondente a entrada (ou excitação)
Fazendo f(t) = 0, obtemos a equação homogênea (02), o circuito correspondente é chamado de autônomo, e a resposta é chamada de resposta livre ou natural.:

dx 1
+ x=0 dt τ

(02)

Resolvendo a equação homogênea (02) para obter a resposta livre:

dx
1
=− x dt τ

⇒

dx
1
= − dt x τ

⇒

x

t dx 1
= ∫ − dt ⇒ ln x τ x =x ( t 0 ) x t =t 0

∫

]xx ( t 0 ) = − 1 t ]tt = t 0 τ ⇒

1

− (t − t 0 ) x 1
1
(03) ln x − ln[x ( t 0 )] = − (t − t 0 ) ⇒ ln
= − (t − t 0 ) ⇒ x = x ( t 0 ) e τ x(t 0 ) τ τ

Fazendo t0 = 0 em (03) obtemos a equação (04), cujo gráfico está representado abaixo.

x = x ( 0)

1
− t e τ .

(04)

t t0 = 0 τ 2τ
3τ
4τ
5τ
10τ
∞

Nota:

x x(t0) = x(0)
0,3679 x(0)
0,1353 x(0)
0,0498 x(0)
0,0183 x(0)
0,0067 x(0)
0,00004 x(0)
0,0

Pelo gráfico pode-se verificar que a constante de tempo τ representa o tempo que uma grandeza leva para cair para ≈37% do valor que ela possui no início do intervalo τ.

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1.2 – Exemplos de circuitos autônomos de 1a ordem
1.2.1 – O circuito RC – Resposta à excitação zero

Equações após abertura de S1 e fechamento de S2 (Circuito RC autonômo – c/ excitação zero): v = vR = R iR = R i
Para a resistência R:
(05)
Para a capacitância C:

⎛
⎝

(06) → (05): v = R ⎜ − C

i = −i C = − C

dv dt (06)

dv
1
dv ⎞
=−
v ⇒
⎟ ⇒ dt ⎠ dt RC

dv
1
+ v=0 dt RC

(07)

A equação (07) é semelhante a equação (02) cuja solução é a