Multiplicador LaGrange

Nomes: Kaio Pandolfi Pessotti Ricardo Agrizzi
Prof:

Desenvolvimento.

Suponha que uma função f tenha um valor extremo no ponto P(x0, y0, z0) sobre a superfície S e seja C a curva com equação vetorial r(t) = hx(t), y(t), z(t)i que pertença a S e passe pelo ponto P. Se t0 é o valor do parâmetro correspondente ao ponto P, então r(t0) = hx0, y0, z0i e h(t) = f(x(t), y(t), z(t)) fornece os valores de f sobre C. f tem um valor extremo em (x0, y0, z0) e h tem um valor extremo em t0 e, portanto, h’(t0) = 0. Se f for diferenciável, usando a regra da Cadeia , temos:
0 = h’(t0) = fx(x0, y0, z0)x’(t0) + fy(x0, y0, z0)y’(t0) + fy(x0, y0, z0)z’(t0)
= ∇f(x0, y0, z0) · r’(t0)
Logo, ∇f(x0, y0, z0) é ortogonal a r’(t0), para toda curva assim obtida.
Assim, ∇f(x0, y0, z0) e ∇g(x0, y0, z0) precisam ser paralelos.
Se ∇g(x0, y0, z0) 6= 0, existe um número λ tal que:
∇f(x0, y0, z0) = λ∇g(x0, y0, z0) onde λ é conhecido como multiplicador de Lagrange.

Método dos Multiplicadores de Lagrange.

Método: Para determinar os valores máximos e mínimos de f(x, y, z) sujeito a g(x, y, z) = k [supondo que esses valores existam e que ∇g 6= 0 sobre a superfície g(x, y, z) = k]:

(a) Determine todos os valores de x, y, z e λ tal que:
∇f(x, y, z) = λ ∇g(x, y, z) g(x, y, z) = k

(b) Calcule f em todos os pontos (x, y, z) que resultaram do passo (a).O maior desses valores serão valor máximo de f, e o menor será o valor mínimo de f.

Se escrevermos a equação vetorial ∇f = λ ∇g em termos de suas componentes, teremos: = λ = λ = λ g(x, y, z) = k
Isso é um sistema de quatro equações e quatro incógnitas, x, y, z e λ.
Para as funções de duas variáveis, o método dos multiplicadores de lagrange é análogo. Para acharmos os valores extremos de f(x, y) sujeitos a restrição de g(x, y) = k, olhamos para todos os valores de x, y e λ. ∇f(x, y) = λ ∇g(x, y) e g(x, y) = k

Isso leva à solução de um sistema de três