MT 512

2º Trabalho de Álgebra Linear (5 pontos)
Prof. Rogério Starich

Produto por escalar
Para multiplicar um vetor por um escalar k temos que multiplicar todas as coordenadas de pelo número k. Por exemplo: para e teremos:

Fazendo as contas fica:

Dessa maneira, o produto do vetor pelo escalar -2 produziu o vetor
Algumas observações sobre o produto por escalar são importantes:
Quando multiplicamos um vetor por um escalar, podemos alterar o tamanho do vetor e até o sentido do vetor, então, para um vetor , se:

Outra coisa importante a ser lembrada é que ao multiplicar um vetor qualquer por , obteremos o vetor nulo . O vetor nulo pode ser considerado como paralelo ou perpendicular a qualquer outro vetor.
A multiplicação de vetores é muito útil para calcular combinações lineares de vetores. Por exemplo, dados os vetores , e , para calcular a combinação linear podemos escrevê-los na forma matricial e depois calcular.
Dessa maneira:

Resolvendo os produtos por escalares primeiro fica:

Portanto, a combinação linear é o vetor cujas coordenadas são .
Norma de um vetor
Em muitos casos é necessário saber a magnitude de um vetor. No caso de um campo elétrico por exemplo, a magnitude do vetor campo elétrico é a intensidade do campo elétrico num determinado ponto ou, no caso da força como uma grandeza vetorial, a magnitude também é a intensidade do vetor força, ou seja, quão forte é uma determinada força num ponto.
Já, na representação geométrica de um vetor, a norma pode ser interpretada como o comprimento de um vetor, ou seja, como a distância entre a extremidade e a origem do representante geométrico do vetor.
Assim, para o vetor , cujas coordenadas são , a norma é definida como um módulo do vetor e representada por , para calcular a norma do representante do vetor na origem, basta utilizar a fórmula da distância entre dois pontos, ou seja:

Se você multiplicar o vetor pelo inverso da norma dele, obterá um vetor cujo tamanho é de uma unidade. Isso quer dizer que