Msp

Trabalho msp:
Tema 1: Euler
Introdução:
Equações diferenciais são utilizadas para modelar problemas que envolvam a modificação de uma variável em relação à outra.
Grande parte destes problemas requer a solução de um Problema de Valor Inicial, isto é, a solução de uma equação diferencial que satisfaça determinada condição inicial.
Como estes problemas costumam envolver equações muito complicadas para serem resolvidas exatamente, há duas abordagens possíveis:
A primeira abordagem ´e aproximar a equação diferencial por outra mais simples, resolver esta ´ultima exatamente e, depois, usar a solução obtida para aproximar a equação original.
A outra abordagem, que veremos aqui, ´e resolver a equação original de maneira aproximada.
Os métodos que veremos para fazer estas aproximações de Problemas de Valor Inicial fornecerão, como resposta, não uma função, mas os valores de uma função em alguns pontos. Se for necessário calcular o valor da aproximação em outros pontos, é necessário interpolar os pontos obtidos.

Objetivo:

O objetivo ´e encontrar uma aproximação para a solução de um Problema de Valor Inicial bem-posto

dy dt = f (t, y), a ≤ t ≤ b, y(a) = α. (1)

Como resposta, não teremos a solução y(t), mas o valor aproximado de y(t) em alguns pontos no intervalo [a, b]. Estes pontos são chamados de pontos de malha.

Método 1 : MELHOR

Método 2
Primeiramente, definimos pontos de malha igualmente espaçados no intervalo [a, b].
Para isso, para um determinado N, definimos o tamanho de passo h como: h = (b – a)/N
Depois, os pontos de malha são definidos como: ti = a + ih, para i = 0, 1, ..., N.

O M´etodo de Euler consiste em construir ωi ≈ y(ti), para cada i = 0, 2, ..., N, usando a equação vista acima, excluindo o termo de segunda ordem.
Ou seja, o M´etodo de Euler consiste em definir: ω0 = y(t0) = y(a) = α, ωi+1 = ωi + hf (ti , ωi),para i = 0, 2, ..., N − 1.

METODO 3
Estudaremos agora métodos que aproximam uma equação diferencial por uma equação de