Momento Triangular

Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP
ESCOLA DE MINAS - EM
Departamento de Engenharia Civil - DECIV
Programa de Pós-graduação em Eng. Civil - PROPEC
NOTAS DE AULA

Vigas Biapoiadas com
Cargas Triangulares
& Trapezoidais
DSc. Arthur Ribeiro de Alvarenga
DSc. Ricardo A. da Mota Silveira
Agosto/2010

Viga biapoiada
Caso 1: carga triangular (genérica) Máx. à Direita

y

px/L

p x A

x

B
L

Valor máximo: p, no ponto x: q(x) = p(x/L) (proporcional).

Reações:
Carga equivalente: P= pL/2
Posição: L/3

y
R Ax
A

∑F

= 0 ⇒ R Ax = 0

∑F

= 0 ⇒ R Ay + R By − pL 2 = 0

x

y

p

R Ay

↑ (+)
R Ay = pL 2 − R By (1)

∑M

A

⇒ R By L − p L / 2 (2 L / 3 ) = 0
⇒ R By =

3

R Ax
A

De (1) e (2): R Ay =

L/3
R Ay

(2)

pL
2

L

P= pL/2

=0 pL B x
R By

−

pL
3

⇒ R Ay =

pL
6

B
R By

DEV
Cortante:

x

V(x) = R Ay − ∫ q (x)dx =

pL

o

V(x) =

pL
6

−

px 2
2L

6

∴ V(x) =

x

−∫ o px
L

dx

p(L2 − 3x 2 )
6L

pL  3x
1 − 2
V(x) =
6 
L

2

 pL
 =
1 − 3α 2
 6

(

Ponto de momento máximo:

(

)

V(x) = 0 ⇒ L2 − 3x 2 = 0 xM = L

3 ≈ 0 ,57735 L

)

B

A pL R Ay = 6

Forma simplificada: α = x/L

p

q(x)= px/L

pL
R By = 3

x
L

pL
6 +
A
x = 0,577 L

-

B pL 3

Observações do DEV:

pL
6 +
A
x = 0,577 L

• Diagrama é uma parábola do
B
2.o grau, tangente horizontal pL em A, pois dV(x)/dx = px/L é
3
zero, quando x = 0.
• Pode-se construir o diagrama com a tabela fazendo: V(x) = ωQ (pL/6), com ωQ= (1-3α2).
• Para verificar o equilíbrio da viga, na ausência de momentos (carga), tem-se que: L
∫ V(x) dx = 0
0

-

De fato, como x = L α, dx = L dα, (0 ≤ x ≤ L → 0 ≤ α ≤ 1) encontrase:
L
1 pL2 pL2
2
3 1
∫0 V(x) dx = 6 ∫0 (1 − 3α ) dα = 6 (α − α ) 0 = 0 (confere!)

DMF

x

x

pLx

x

px 2

−∫ dx Momento: M (x) = R Ay x − ∫ q (x) dx =
2
6 o o 2L
M (x) =

pLx

−

px 3

∴ M (x) =

6
6L
Forma simplificada: α = x/L
3
pL2  x  x   pL2
3
M (x) =
−
= α − α 



6  L  L  
6
Momento máximo com xM = 0,577 L

(

3

pL 1  1  
=
− 
  =

6  3  3  
2

M Max

pL2 3
27

∴
2