momento angular

Páginas: 5 (1093 palavras) Publicado: 3 de junho de 2014
2ªAula do cap. 11
• Quantidade de Movimento Angular “L”.
• Conservação do Momento Angular: L = L
i

f

Referência:
Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundamentos de Física, vol.. 1
cap. 11 da 7a. ed. Rio de Janeiro: LTC.

O momento angular
As variáveis angulares de um corpo rígido girando em torno
de um eixo fixo têm sempre correspondentes lineares

r r r
τ ↔ F ; α↔ a e I↔ M
r

•Vamos definir mais uma grandeza angular que nos será
extremamente útil; o momento angular “L” !
•O momento angular de uma partícula
depende do seu momento linear

P = mv

O momento angular
•De modo similar ao momento linear ( p = m v ) os movimentos
rotacionais possuem um momento angular L, que para um corpo
em rotação em torno de um eixo fixo é definido por:

L=IωOnde, I é o momento de inércia e
ω a velocidade angular.
O momento angular da partícula na figura é um vetor perpendicular
ao plano do movimento e o seu módulo vale I ω.

O momento angular
•De outro maneira o momento angular L, pode ser definido por:

L = I ω = mr2 (v/r) = mrv = r x (mv) = produto vetorial.

L = rxP
•Onde o sinal x designa produto vetorial
No SI a unidade demomento angular
é o “joule segundo” (J s) ou L = kg m2/s)
•W = F.d > joule = kg m/s2. m e
Momento angular = kg m/s2. m (s) = L = kg m2/s = J.s

O momento angular L = r x P
Isto é, L um vetor cuja
módulo é o produto da
grandeza do momento linear
“p”, pela
distância à origem “r”,
multiplicados, ainda pelo seno
do ângulo que p= mv e r
fazem entre si.

L = ⏐r⏐⏐p⏐sen θ

L = r mv

Omomento angular de um sistema de partículas
O momento angular de um sistema
z
de partículas é dado por
r
r ˆ
p N = mN v N

r
r r
r r
L = ∑ ri × pi = ∑ mi ri × vi
i

r
r2

r
r2′

i

Lembrando que a posição do CM é
r
R=

r
rN

r
r
p2 = m2 v2

r
∑ mi ri
i

∑m

i

r
⇒ ∑ mi R = 0

r
R

0

r
r1

r
p1 = m1v1

i

i

x
ˆ
O momento angular do sistemade partículas é a soma do
momento angular interno (L') (relativo ao CM) com o momento
angular do CM.
r r r r

L = L′ + R × P

y
ˆ r

Momento angular da Terra em relação ao Sol

r
L′
r r
r×p

r r r r
L = L′ + r × p

r
L′

Momento angular da Terra em
torno do seu próprio eixo
Momento angular de translação =
constante (força central)

r r
r×p
Sol

r
L′

r
r

r
pTerra

Ampliando a definição de Momento Angular

dL/dt = τ

torque

•Taxa de variação do
momento angular com o
tempo é igual ao torque
resultante que atua na
partícula.

Ampliando a definição de Momento Angular
• Torque com relação à origem “0” do sistema de
coordenadas.

v r r
τ i = ri × Fi
Por outro lado

z
ˆ

r
r dpi
Fi =
dt

ωv

r

ρi
onde

r
r
pi =mi vi é o momento linear da partícula

r
v r r r d pi
τ i = ri × Fi = ri ×
=
dt

Então

r

0

τi

r
ri

r
vi
r
Fi

y
ˆ
x
ˆ
?

Ampliando a definição de Momento Angular
r
r
ωv v
r
z
r r
r
r
ˆ
τi i
r
r dpi
dL d ( ri × pi ) dri
r
r
=
=
× pi + ri ×
ρi
Fi
dt
dt
dt
dt
v x mv

0

0

x
ˆ

Conservação do momento angular...

v

τ resext

rd r r dL
= (r × p ) =
dt
dt

y
ˆ
z
ˆ

r

ω

podemos imediatamente dizer que

r
r
τ resext = 0 ⇒ L = const .

r
ri

0
x
ˆ

r
r

r
L

y
ˆ

r
r
p = mv

Princípio de conservação do
momento angular
dL/dt = τ = d (I ω) /dt = I d (ω) = I α
• τ = I α = torque resultante externo

τRes.externo = 0

dL/dt = 0
L = constante

Li = LF

Princípio deconservação do
momento angular

Brasileira
Mayra Ramos, ganhou
a medalha de bronze na
patinação artística PAN.

I = mR2

Li = LF

-

ω

+

O momento de inércia I diminui, e a velocidade
angular ω aumenta.

L = Iω = const .



I iω i = I f ω f

Princípio de conservação do
momento angular
No sistema homem - halteres só há forças internas e, portanto,
τRes.externo = 0

ωi...
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