MODELOS MATEMÁTICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS

Modelagem Matemática
MODELOS MATEMÁTICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS

Os circuitos equivalentes às redes elétricas com as quais trabalhamos consistem basicamente em três componentes lineares passivos: resistores, capacitores e indutores. A Tabela 1 resume os componentes e as relações entre tensão e corrente e entre tensão e carga, sob condições iniciais nulas.
Tabela 1 – Relações tensão-corrente, tensão-carga e impedância para capacitoers, resistores e indutores.
Componente

Tensão-corrente

Corrente-tensão

Tensão-carga

Nota: ( t ) = V (volts), i( t ) = A (ampères), q( t ) = Q (coulombs), C = F (farads), R =

Impedância
Admitância
Z(s) = V(s)/I(s) Y(s) = I(s)/V(s)

(ohms), G =(mhos), L = H (henries)

As equações de um circuito elétrico obedecem às leis de Kirchhoff, que estabelecem: A soma algébrica das diferenças de potencial ao logo de um circuito fechado é igual a zero.
A soma algébrica das correntes em uma junção ou nó é igual a zero.
A partir destas relações podemos escrever as equações diferenciais do circuito. Aplica-se, então, a Transformada de Laplace das equações e finalmente se soluciona a Função de Transferência.
Exemplo:
Obter a função de transferência relacionando a tensão, VC(s), no capacitor à tensão de entrada, V(s), da figura 1.

Figura 1 - Circuito RLC.

Transformadas de Laplace

Resolução:
Utilizando as leis de Kirchhoff, obteremos a equação diferencial para o circuito.
Somando as tensões ao longo da malha, supondo condições iniciais nulas, resulta a equação íntegro-diferencial.
L

di(t ) dt t

1 i( )d
C 0

Ri(t )

v(t )

Fazendo uma mudança de variável, de corrente para carga, usando a relação i(t )

dq(t) / dt resulta:

L

d 2 q(t ) dt 2

R

dq(t) dt 1 q(t )
C

v(t )

A partir da relação tensão-carga em um capacitor da Tabela 1: q(t )

CvC (t )

Substituindo:
LC

d 2 vC (t ) dt 2

RC

dvC (t ) dt vC (t )

v(t)

Aplicando Laplace:
LCs 2