modelagem

java.gif (886 bytes)Oscilações amortecidas

java.gif (886 bytes)Um modelo para o coeficiente de restituição

Nesta página, estudamos as oscilações amortecidas tomando como modelo uma partícula de massa m unida a uma mola elástica de constante k que experimenta uma força de atrito proporcional a velocidade. Como aplicação prática descrevemos um modelo simplificado que explica a deformação de um balão quando choca contra uma parede rígida.

Oscilações amortecidas

A experiência nos mostra que a amplitude de um corpo vibrante tal como uma mola ou um pêndulo, decresce gradualmente até que pare.

Para explicar o amortecimento, podemos supor que além da força elástica F=-kx, atua outra força oposta a velocidade Fr=-lv, onde l é uma constante que depende do sistema físico particular. Todo corpo que se move no seio de um fluído viscoso em regime laminar experimenta uma força de atrito proporcional a velocidade e de sentido contrário a esta.

A equação do movimento é escrita

ma=-kx-λv

Expressamos a equação do movimento na forma de uma equação diferencial, tendo em conta que a aceleração é a derivada segunda da posição x, e a velocidade é a derivada primeira de x.

A solução da equação diferencial tem a seguinte expressão

As características essenciais das oscilações amortecidas:

A amplitude da oscilação diminui com o tempo.
A energia do oscilador também diminui, devido ao trabalho da força Fr de atrito viscoso oposta a velocidade.
No espaço de fases (v-x) o móvel descreve uma espiral que converge para a origem.
Se o amortecimento é grande, g pode ser maior que w0, e w pode chegar a ser zero (oscilações críticas) ou imaginária (oscilações sobreamortecidas). Em ambos os casos, não há oscilações e a partícula se aproxima gradualmente da posição de equilíbrio. A energia que perde a partícula que experimenta uma oscilação amortecida é absorvida pelo meio que a rodeia.

Condições iniciais

A posição inicial x0 e a