Modelagem de Sinais

PIBIC 2013-2014

Bolsa CNPq

SIICUSP 2014 – 22º Seminário Internacional de Iniciação Científica e Tecnológica da USP

SOBRE O MODELAMENTO PARAMÉTRICO DE SINAIS
DETERMINISTAS
ROSSI, Victor Hugo de Alencar

INTRODUÇÃO

O vetor de coeficientes que minimiza a função custo é, portanto

As técnicas existentes para gerar o sinal a partir de um modelo dependem muito das características do sinal a ser gerado [1,2].
Considera-se que o sinal gerado pelo modelo é determinista, ou seja, o sinal é representado por uma expressão matemática e por um número finito de parâmetros com um sistema Linear e Invariante no Tempo
(LIT).
𝑞

−𝑘
𝐵𝑞 (𝑧)
𝑏
𝑘
𝑧
𝑘=0 𝑞
𝐻 𝑧 =
=
𝑝
𝐴𝑝 (𝑧)
1 + 𝑘=1 𝑎𝑝 𝑘 𝑧 −𝑘

−1

𝑁

𝑁

𝐠 𝑞+1 𝑛 𝐠 𝑇𝑞+1 𝑛

𝐛𝑞+1 0 =
𝑛=0

𝑥 𝑛 𝐠 𝑞+1 𝑛
𝑛=0

𝑹𝐠𝑞+1

𝒓𝑥,𝐠𝑞+1

SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL

Seja v(n) a entrada de um sistema LIT e y(n) sua saída, o modelamento do sinal x(n) consiste em obter os coeficientes de H(z) de modo que, a saída y(n) se aproxime o máximo possível de x(n) para uma determinada entrada v(n).
Os métodos de Prony e Shanks são técnicas clássicas usualmente encontradas na literatura para obter uma solução para o problema.

Seja o sinal determinista 𝑥 𝑛 = −2.5 × 0.75𝑛 − 0.3 × 0.97𝑛 + 3 × 0.8𝑛 .
Desejamos representar x(n) comum conjunto reduzido de parâmetros
{p,q}

MÉTODO DE PRONY
Particularmente, definimos o erro de modelagem como e(n) = x(n)-h(n).
Aplicando a transformada z e, após algumas manipulações, a antitransformada z, temos a equações

𝑒𝐵 = 𝑥 𝑛 + 𝐱𝑝𝑇 𝑛 − 1 𝐚𝑝 1 − 𝑏𝑞 𝑛 ; 𝑛 = 0, 1, … , 𝑞
𝑒𝐴 = 𝑥 𝑛 + 𝐱𝑝𝑇 𝑛 − 1 𝐚𝑝 1 ; 𝑛 > 𝑞
Isso sugere como vetor de coeficientes ap(1) ótimos aqueles que minimizam a função custo
𝑁

𝐽𝐴 ≜

(𝑒𝐴 (𝑛))²
𝑛=𝑞+1

Para isso, aplica-se a função custo a derivada em relação aos coeficientes e iguala-se a expressão a zero. Após manipulações algébricas resulta
𝑁

𝑁

𝐱𝑝 𝑛 − 1