Minimos Quadrados

Experimento 4
M´
ınimos Quadrados
Jorge Diego Marconi e Varlei Rodrigues

Vamos supor que temos um conjunto de N dados (xi , yi ), onde cada valor yi tem um erro associado que chamamos de σi , ou seja (yi ± σi ) (os σi n˜o tˆm que ser iguais entre si). a e
Vamos supor que os dados representam certo fenˆmeno f´ o ısico que segue uma lei descrita por uma fun¸ao f . c˜ Usando a descri¸ao gaussiana de erros, a probabilidade Pi de ocorrer a medida (xi , yi , σi ) c˜ ´ dada por: e 1
C
Pi = exp − σi 2

(yi − yi ) σi 2

(1)

onde yi ´ o valor m´dio de yi e C ´ uma constante de normaliza¸˜o. Portanto, a probae e e ca bilidade P de ocorrer o conjunto das N medidas ser´: a P = P1 P2 ... PN
(y1 − y1 ) σ1 =

C
1
exp − σ1 2

=

CN
1
exp − σ1 σ2 ... σN
2

2

...

N

C
1
exp − σN 2

(yi − yi ) σi i=1

(yN − yN ) σN 2

2

(2)

Como yi seria o valor que se aproxima do valor ”verdadeiro” de yi e supondo um modelo f´ ısico para nossas medidas que segue uma lei descrita por uma fun¸ao f , podemos escrever c˜ que: yi = f (xi , a1 , a2 , ..., an )

(3)

onde a1 , a2 , ... an s˜o os parˆmetros do modelo. Definindo: a a n 2

χ = i=1 (yi − f (xi , a1 , a2 , ..., an )) σi 2

(4)

podemos reescrever a equa¸˜o (2) como: ca P =

Cn n i=1

1 exp − χ2 σi 2

(5)

Neste caso, para que a fun¸ao f seja a mais adequada para nossas medidas, ou seja, para c˜ 2 que P seja m´ximo, χ deve ser m´ a ınimo.

1

O m´todo dos m´ e ınimos quadrados consiste em ajustar os parˆmetros a1 , a2 , ... an de tal a 2 forma que χ seja m´ ınimo, ou seja, procuramos resolver o sistema abaixo:
∂χ2
=0
∂a1

∂χ2
=0
∂a2

...

∂χ2
=0
∂an

(6)

Ajuste de uma fun¸˜o linear: Regress˜o Linear ca a
Supondo um conjunto de dados e que a fun¸˜o que descreve o nosso sistema seja linear. ca f (xi ) = axi + b

(7)

A sua representa¸ao gr´fica t´ c˜ a ıpica seria: