Minimos quadrados

Notas de aula de Métodos Numéricos. c Departamento de Computação/ICEB/UFOP.

Ajuste de Curvas pelo Método dos Quadrados Mínimos
Marcone Jamilson Freitas Souza, Departamento de Computação, Instituto de Ciências Exatas e Biológicas, Universidade Federal de Ouro Preto, 35400-000 Ouro Preto, MG, Brasil. Homepage: http://www.decom.ufop.br/prof/marcone, E-mail: [e-mail]

1 Introdução
Em muitas situações, conhece-se uma tabela de pontos (xi , yi ), onde cada yi é obtido experimentalmente, e deseja-se obter a expressão analítica de uma dada curva y = f (x) que melhor se ajusta a esse conjunto de pontos. Por exemplo, sabe-se que o número y de bactérias, por unidade de volume, existente em uma cultura após um determinado número x de horas, cresce exponencialmente com o aumento de x. Neste caso, o número de bactérias cresce com o decorrer das horas na forma y = αeβx . O problema consiste, então, em determinar os valores mais apropriados dos parâmetros α e β desta exponencial.

2 Ajuste a uma reta
Mostremos, inicialmente, como ajustar um conjunto de pontos a uma reta y = a + bx, onde a e b são parâmetros a serem determinados. Neste caso, estamos interessados em minimizar a distância de cada ponto (xi , yi ) da tabela à cada ponto (xi , a + bxi ) da reta, conforme ilustra a gura 1.

Figura 1: Distância de um ponto (xi , yi ) à reta y = a + bx é: A distância entre esses pontos é |yi − a − bxi | e a soma dos quadrados dessas distâncias

2

Marcone Jamilson Freitas Souza

n

q= i=1 (yi − a − bxi )2

(2.1)

Os candidatos a ponto de mínimo da função 2.1 são aqueles para os quais são nulos as derivadas parciais de q em relação a cada um de seus parâmetros, isto é:

∂q = −2 (yi − a − bxi ) = 0 ∂a i=1 ∂q = −2 xi (yi − a − bxi ) = 0 ∂b i=1
Tendo em vista que: n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n

n

(2.2)

(2.3)

(yi − a − bxi )

= =

yi −

a−

bxi xi b n i=1

yi − na − n e que:

n

obtemos o seguinte sistema