Minicraftes

XXXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 3 (Ensino Médio)
PARTE A
(Cada problema vale 4 pontos)

01. Arnaldo pensou em um número de quatro dígitos e desafiou Bernardo a descobrir qual era o número. Para tanto, passou as seguintes três dicas para Bernardo, sendo que exatamente uma das dicas é falsa.
Dica 1: O número é um cubo perfeito;
Dica 2: O número é o menor número de quatro dígitos que possui quatro divisores positivos;
Dica 3: O número é múltiplo de 59.
Qual o número pensado por Arnaldo?

02. Sendo a, b, c reais tais que ab(a + b + c) = 1001, bc(a + b + c) = 2002 e ca(a + b + c) = 3003, encontre abc.

03. Uma tira retangular de papel ABCD é dobrada ao longo das linhas EF e HG de forma tal que os vértices A e B são levados para um mesmo ponto A’ da mediatriz do segmento AB e o ângulo ∠HA’E é reto. Obtém-se assim o pentágono A’EFGH.

Sabe-se que as bordas inferiores da tira (segmentos FC’ e GD’ na figura) se cortam no ponto médio M do lado AB. O lado menor da tira mede 1 e a medida do lado maior mede , com a e b inteiros positivos. Quanto é a + b?

04. Os dois menores números primos da forma n2 + 5 são 62 + 5 = 41 e 122 + 5 = 149. Qual é o terceiro menor primo dessa forma?

05. Dois círculos se cortam em dois pontos A e B. Seja X um ponto sobre o segmento AB. Dez retas, todas passando por X, cortam os círculos em um total de quarenta pontos, quatro para cada reta. Qual é a quantidade mínima de quadriláteros cíclicos cujos quatro vértices estão entre esses quarenta pontos?
Obs: um quadrilátero é cíclico se, e somente se, existe um círculo que passa por seus quatro vértices.

XXXIV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Segunda Fase – Nível 3 (Ensino Médio)
PARTE B
(Cada problema vale 10 pontos)

PROBLEMA 1
Considere a equação ax2 + bx + c = 0, em que a, b e c são reais e a > 0. Suponha que esta equação tenha duas raízes reais r e s tais que 0 < r < 1 e 0 < s < 1. Mostre que b + c < 0.

PROBLEMA 2