metodos de integração

Integração por substituição
Considere a seguinte integral:

A substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de variáveis , onde é uma função qualquer contínua no domínio de integração. Fazendo :

Esta técnica, que é fruto da regra da cadeia para derivadas, é muito útil quando a função a ser integrada pode ser representada como um produto de funções, onde uma é derivada da outra (podendo diferir de uma constante).
Nem sempre a substituição adequada é evidente; muitas vezes é necessário fazer substituições pouco intuitivas (tais como substituição através de funções trigonométricas). Para tal, são necessários prática e alto poder de carteação.
Substituições trigonométricas[editar | editar código-fonte]
As substituições trigonométricas são muito úteis quando encontramos integrais contendo expressões da forma:

Neste caso, as substituições adequadas são:

Passos para a integração:.
Passo 1: Faça uma escolha para . Ex.: .
Passo 2: Calcule .
Passo 3: Faça a substituição , . Neste ponto a integral deve estar em termos de . Se isso não acontecer, deve-se tentar uma nova escolha para .
Passo 4: Calcule a integral resultante, se possível.
Passo 5: Substituir por ; assim, a resposta final estará em termos de .

Exemplo Considere a integral usando a substituição , obtem-se

A integral de Cosseno ao quadrado pode ser feito utilizando integração por partes

Voltando a equação original

Agora deve se voltar a incógnita original, isso pode ser feito traspondo o ângulo para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a igual a , conseqüentemente o cateto adjacente ao ângulo valerá . Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações:

O ângulo pode ser expresso como Obtendo assim a resposta final.
Integração por partes[editar | editar código-fonte]
Pela regra do produto para derivadas, sabe-se que ,