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MÉTODO DE INDUÇÃO MATEMÁTICA
Se pretendemos provar que uma propriedade A(n) se verifica no conjunto IN, devemos provar que:
9 A(n) verifica-se para o número 1
9 supondo-se a propriedade A(n) verificada pelo número natural p, arbitrário, então a propriedade A(n) verifica-se para p + 1, (ou seja, A(p + 1) é verdadeira), o que se exprime dizendo que a propriedade A(n) é hereditária.
Então, podemos concluir que A(n), ∀n ∈ N , é verdadeira.

EXERCÍCIOS

Recorrendo ao método de indução matemática, prova que:
1. a soma dos n primeiros termos da sucessão u n = 2n − 1 é dada por S n = n 2

2. 3 + 9 + 15 + ... + (6n − 3) = 3n 2

l
3. a sucessão dos números triangulares:

⎧t1 = 1 cuja definição por recorrência é ⎨
⎩t n = t n−1 + n, para n > 1 tem o seguinte termo geral t n =

1 2n −1
1 1 1
+ + + ... + n = n , ∀n ∈ N
4.
2
2
2 4 8

n2 + n
2

EXEMPLO:

Seja a sucessão an

1
⎧
⎪⎪a1 = 2 definida por recorrência ⎨
⎪an+1 = 1 , n > 1
⎪⎩
2 − an

Utilizando o método de indução matemática, demonstrar que an =

n
, ∀n ∈ N n +1

DEMONSTRAÇÃO
Verifiquemos que é válida para n=1.

a1 =

1
1
; a1 =
, logo é válida
2
1+1

Suponhamos que se verifica para a ordem p, isto é,

ap =

p
(hipótese de indução) p +1

Será que se verifica para p+1? Isto é, a p +1 =

p +1
?
p+2

Aplicando a hipótese de indução, na definição de recorrência, vem que: a p +1 =

1 p 2− p +1

=

1 p +1
=
2p + 2− p p + 2 p +1

Assim, fica provado que a referida propriedade é verificada para n=1 e é hereditária, ou seja, fica provado que é válida para todo o n ∈ N .

Provar, por indução matemática, que: 3 + 9 + 15 + ... + (6n − 3) = 3n 2
DEMONSTRAÇÃO
Verifiquemos que é válida para n=1.
3=3 (proposição verdadeira)

Suponhamos que a propriedade se verifica para a ordem p, isto é,

3 + 9 + 15 + ... + (6 p − 3) = 3 p 2 (hipótese de indução)
Provemos que se verifica para a ordem p+1, isto é, que
3 + 9 + 15 + ... + (6( p + 1) − 3) = 3( p + 1) ou seja 3 + 9 + 15 + ... + (6 p + 3) = 3( p + 1)
2

2

Se adicionarmos 6 p + 3 , nº primo