metal

Universidade Federal Fluminense
´
Instituto de Matematica e Estat´stica ı ´
Departamento de Matematica Aplicada

C´lculo III-A –M´dulo 3 a o
Aula 5 – Aplica¸˜es da Integrais Duplas co Objetivo
• Estudar algumas aplica¸˜es f´ co ısicas como massa, centro de massa e momento de in´rcia. e 1. Massa
Seja D ⊂ R2 , uma regi˜o compacta, representando uma lˆmina plana delgada. Suponhamos que a a a fun¸˜o cont´ ca ınua e positiva δ : D ⊂ R2 → R representa a densidade superficial de massa (massa por unidade de ´rea). a R

Rij

D
∗
(x∗ , yj ) i Considerando-se n2 subretˆngulos Rij de algum retˆngulo R que cont´m D e uma escolha a a e ∗
∗
xi , yj ∈ Rij , observamos que a soma n n
∗
δ x∗ , yj ∆A i j=1 i=1
∗
∗
´ uma aproxima¸˜o da massa M de D, onde δ x∗ , yj = 0 se x∗ , yj ∈ D. Logo, ´ razo´vel definir e ca
/
e a i i a massa M de D com
M=
δ(x, y) dxdy .
D

´
Calculo III-A

´
Modulo 3

2

OBS.: Se δ(x, y) for constante e igual a k, ent˜o a massa M ser´ igual a a a kA(D). Neste caso, dizemos que a lˆmina D ´ homogˆnea. a e e 2. Centro de Massa
a) Seja um sistema finito de part´ ıculas P1 = (x1 , y1 ), P2 = (x2 , y2), · · · , Pn = (xn , yn ), com massas mi , i = 1, · · · , n, respectivamente. Lembrando da F´ ısica que os momentos de massa desse sistema, em rela¸˜o aos eixos x e y, s˜o definidos por: ca a n n

Mx =

mi yi e My = i=1 mi xi . i=1 n

O centro de massa do sistema ´ o ponto (x, y), que se comporta como se a massa total M = e mi i=1 do sistema estivesse concentrada nesse ponto. Logo,
Mx = My e My = Mx ou n

My
=
x=
M

n

m i xi i=1 n

mi

Mx
=
e y=
M

i=1

mi y i i=1 n

. mi i=1

b) Se considerarmos no lugar de um sistema finito de part´ ıculas, uma lˆmina plana D, com densidade a superficial de massa dada por uma fun¸˜o cont´ ca ınua e positiva δ(x, y), fazemos uma parti¸˜o de algum ca ∗
∗
retˆngulo R contendo D,