Mestre

Diagonalização de Operadores
Definição, Teoremas e Aplicação

Limeira
2014

Resumo
Diagonalizar é um processo para transformar uma matriz ou um operador diagonalizável em uma matriz diagonal. Uma matriz diagonal é a matriz mais simples possível. Encontramos uma base Rn que consiste de autovetores de uma dada matriz Anxn.

Diagonalização
Temos como definição de diagonalização uma matriz quadrada Anxn , dizemos que A é diagonalizável se existir uma matriz invertível D tal que AP é uma matriz diagonal. Com isso podemos dizer que P diagonaliza A.
É possível provar que duas matrizes A e B representam a mesma transformação linear, com respeito a bases diferentes, se e somente se elas estiverem relacionadas através da equação B = AP.
A matriz P é precisamente a matriz de mudança de coordenadas, quando passamos de uma base para a outra. Assim, dada uma transformação linear, representada em certa base por uma matriz A, a questão de determinar se existe uma base na qual a transformação linear é representada por uma matriz diagonal D se reduz a encontrar uma matriz invertível P tal que D = AP.
Com isso temos as seguintes definições:
1. Sejam A, B matrizes n x n. Dizemos que B é semelhante a A , se existe uma matriz invertível P tal que B = AP.
2. Dizemos que uma matriz A é diagonalizável ,se ela é semelhante a uma matriz diagonal.
Seremos capazes de diagonalizar uma transformação linear se e somente se formos capazes de encontrar n vetores linearmente independentes ,, ..., tais que

T = , T = , ..., T = .

Com isso temos mais uma definição:
Seja A uma matriz n x n. Dizemos que um número real λ é um autovalor de A se existir um vetor não nulo de v de Rn tal que
Av = λv

Uma matriz A n x n é diagonalizável se e somente se ela possui n autovetores linearmente independentes.

Teorema de diagonalização:
Se A é uma matriz n x n. A é diagonalizável se e somente se existe uma base para Rn formada por