Mecânica i

Os cabos AC e BC estão conectados em C e são carregados, tal como mostra a figura. Sabendo que P=450 N, (a) Expresse a tracção em cada cabo como uma função de θ. (b) Plote a tracção em cada cabo para 0 ≤ θ ≤ 90. (c) A partir do gráfico obtido em (a) determine o menor valor de θ para o qual ambos os cabos ficam traccionados.

B
B
A
A

300
300
300
300

P
P

θ θ C
C

675 N
675 N

j j i i Y
Y

Tcb
Tcb
Tca
Tca
300
300
300
300

P
P

θ θ X
X

675 N
675 N

Solução a) Em primeiro lugar vou deduzir a expressão das tracções Tca e Tcb em função do ângulo θ, decompondo as tracções nas suas componentes i e j e considerando como origem do referencial o ponto C.

Em i temos:
Tca*sin30+450=Tcb*sin30+675*cosθ
Em j temos:
Tca*cos30+Tcb*cos30=675*sinθ

Utilizando um sistema de equações ficamos apenas com duas incógnitas e duas equações, resolvendo em ordem a θ: sin30= 12 cos30= √32 sin30= 12 cos30= √32
Tca2 = Tcb2+675*cosθ-450√32Tca+ √32Tcb=675*sinθ
Tca= Tcb+1350*cosθ-9003*Tca+3*Tcb=1350*sinθ
Tca= Tcb+1350*cosθ-9003*(Tca+Tcb)=1350*sinθ
Tca= Tcb+1350*cosθ-900Tca+Tcb=1350√3*sinθ
Tca= Tcb+1350*cosθ-900Tcb=1350√3*sinθ-Tca
Tca= Tcb+1350*cosθ-900Tcb=1350√3*sinθ-( Tcb+1350*cosθ-900)
Tca= Tcb+1350*cosθ-900Tcb=1350√3*sinθ- Tcb- 1350*cosθ+ 900
Tca= Tcb+1350*cosθ-9002Tcb=1350√3*sinθ- 1350*cosθ+ 900
Tca= Tcb+1350*cosθ-900Tcb=13502√3*sinθ- 675*cosθ+ 450
Tca= 675(sinθ3- cosθ)+ 450+1350*cosθ-900Tcb=675(sinθ3- cosθ)+ 450

Tca= 675sinθ3+ cosθ- 450Tcb=675(sinθ3- cosθ)+ 450
b) Utilizando as duas equações obtidas vou construir uma tabela de variação do ângulo θ dos 0o aos 90o, fornecendo os diferentes valores de Tca e Tcb. Vou utilizar a tabela obtida para a construção de um gráfico.
Tabela:
θ | θ em radianos | Tca (N) | Tcb (N) | 0 | 0 | 225 | -225 | 1 | 0,017453293 | 231,6985965 | -218,0957919 | 2 | 0,034906585 | 238,1895411 | -210,9880754 | 3 | 0,052359878 | 244,4708564 | -203,6790155 | 4 |