Mecatronica

Sistemas Lineares
Equa¸˜es Lineares co
V´rios problemas nas ´reas cient´ a a ıfica, tecnol´gica e econˆmica s˜o modelados por sistemas de equa¸˜es o o a co lineares e requerem a solu¸˜o destes no menor tempo poss´ ca ıvel. Defini¸˜o. Uma equa¸˜o linear em n inc´gnitas x1 , ..., xn ´ uma equa¸˜o da forma ca ca o e ca a1 x1 + ... + an xn = b, onde a1 , ..., an , b s˜o constantes reais. a Uma solu¸˜o para a equa¸˜o linear acima ´ um conjunto de n´meros reais s1 , s2 , ..., sn tais que quando ca ca e u substitu´ ımos x1 = s1 , x2 = s2 , ..., xn = sn , a equa¸˜o ´ satisfeita. ca e Exemplo 1. Resolva as seguintes equa¸˜es lineares: co a) 3x = 5 Esta equa¸˜o tem como solu¸˜o unica x = 5/3, logo o seu conjunto solu¸˜o ´ S = ca ca ´ ca e b) 0x = 1 Esta equa¸˜o n˜o tem nenhuma solu¸˜o, pois n˜o existe nenhum n´mero real que multiplicado por 0 ca a ca a u dˆ 1. Portanto e S = ∅. c) 5x + 10y − 2z = 3 Isolamos qualquer uma das vari´veis, escrevendo ela em fun¸˜o das outras. Por exemplo, isolando x, a ca temos 3 2 x = − 2y + z, 5 5 isto ´, escrevemos x em fun¸˜o de y e z. As vari´veis y e z n˜o dependem de nenhuma outra; elas s˜o e ca a a a vari´veis livres. Logo, elas podem assumir quaisquer valores reais arbitr´rios, digamos a a y = α e z = β. Portanto, o conjunto solu¸˜o deste sistema ´ infinito e tem a forma ca e  3    5 − 2α + 2 β,  5  : α, β ∈ R . α S=    β 1 5 . 3

Ou seja, toda solu¸˜o da equa¸˜o tem esta forma, para algum valor de α e algum valor de β. Por ca ca exemplo, 3 x = 5, x = −9, 5 y = 0, y = 1, e z = 0, z = −1, s˜o solu¸˜es da equa¸˜o: a primeira corresponde a tomar α = 0 e β = 0, enquanto que a segunda a co ca corresponde a tomar α = 1 e β = −1.

Sistemas de Equa¸˜es Lineares co
Um sistema de equa¸˜es lineares ´ simplesmente um conjunto de equa¸˜es lineares. co e co Defini¸˜o. Um sistema de m equa¸˜es lineares em n vari´veis (ou inc´gnitas) ´ um conjunto de equa¸˜es ca co a o e co lineares da forma   a11 x1 + a12 x2 ... + a1n xn = b1    a21