matrizes

1 Sistemas de Equações Lineares (SEL)
Chamamos equação linear nas incógnitas x1,..., xn, a qualquer equação da forma a1x1 + a2x2 + ::: + anxn = b;

(1)

com a1,..., an, b 2 R.
Dizemos que uma lista ordenada de n números reais
(s1; s2; :::; sn) 2 Rn é uma solução da equação (1) se a1s1 + a2s2 + ::: + ansn = b:

Um sistema de m equações lineares nas incógnitas x1,..., xn será portanto qualquer sistema de equações da forma 8
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>
>
<
>
>
>
:

a11x1 + a12x2 + ::: + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ::: + a2nxn = b2
.
::: am1x1 + am2x2 + ::: + amnxn = bm

(2)

Uma lista de números reais (s1; s2; :::; sn) 2 Rn é uma solução do sistema (2) se (s1; s2; :::; sn) for solução de cada uma das equações do sistema.

2 Noções Básicas
O conjunto de todas as soluções de um sistema de m equações lineares nas incógnitas x1,..., xn é designado por S . O conjunto S será portanto um subconjunto de
Rn (S Rn)
Resolver um sistema de equações lineares é conhecer todos os elementos de S .
Se o conjunto S é não vazio, dizemos que o sistema é possível. Se o conjunto S não tem mais do que um elemento, dizemos que o sistema é determinado.

De…nição Fundamental: Dois sistemas de equações lineares nas incógnitas x1,..., xn dizem-se equivalentes se tiverem o mesmo conjunto de soluções.

3 Matriz Aumentada de um SEL
Consideremos o SEL nas incógnitas x1; x2; :::; xn
8
>
>
>
<
>
>
>
:

a11x1 + a12x2 + ::: + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ::: + a2nxn = b2
:
::: am1x1 + am2x2 + ::: + amnxn = bm

Às matrizes (quadros de números reais)
2

e

a11
6 a
6
A = 6 21
4 :::
2

6
6
A jb = 6
4

a12 a22 ::: am1 am2

3

::: a1n
::: a2n 7
7
7
::: ::: 5
::: amn

a11 a12 ::: a1n b1 a21 a22 ::: a2n b2
:::
::: ::: :::
:::
am1 am2 ::: amn bm

3
7
7
7
5

chamamos respectivamente matriz do sistema e matriz aumentada do sistema.

4 Exemplo
Para o SEL nas incógnitas x1, x2, x3

teremos
2

8
>
< x 1 + x2 = 1
2 x1