Matrizes

0.1. MATRIZES

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Matrizes

Defini¸˜o 0.1.1 Uma matriz real A, m × n (m por n), ´ uma tabela retanca e gular com mn n´meros reais dispostos em m linhas e n colunas: u   a11 a12 · · · a1n   a  21 a22 · · · a2n  A= . . .  . .   . . . . am1 am2 · · · amn A i-´sima linha de A ´ e e [ ai1 ai2 · · · ain ]

para i ∈ {1, . . . , m} e a j-´sima coluna de A ´ e e   a1j  a2j     .   .  . amj para j ∈ {1, . . . , n}. Usa-se tamb´m a nota¸˜o A = (aij )m×n ou simplesmente A = (aij ) para e ca indicar a matriz A de ordem m × n. Se m = n, dizemos que A ´ uma matriz e quadrada de ordem n. Os n´meros reais a11 , a22 , · · · , ann formam a diagonal u principal da matriz A. Os n´meros reais a1n , a2(n−1) , · · · , an1 formam a u diagonal secund´ria da matriz A. O n´mero real aij ocupa a i-´sima linha a u e e j-´sima coluna de A e ´ chamado termo geral da matriz ou (i, j)-´simo e e e elemento de A. Exemplo 0.1.1 Considere as seguintes matrizes: ] [ [ ] ] [ 1 5 1 9 6 1 A= , B= √ , C = −1 20 0 − 2 , −1 0 5 2 4   1  1    E = [0] . D =  1 ,    1  1 A matriz A ´ 2 × 3 com a11 = 1, a12 = 9, a13 = 6, a21 = −1, a22 = 0 e e a23 = 5. A matriz B ´ 2 × 2, a matriz C ´ 1 × 4, a matriz D ´ 5 × 1 e E ´ e e e e 1 × 1.

2 Defini¸˜o 0.1.2 Duas matrizes de mesma ordem A = (aij )m×n e B = ca (bij )m×n s˜o iguais quando aij = bij , para i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n. a Observa¸˜o 0.1.1 Ressaltamos que, apesar de nos restringirmos ao estudo ca das matrizes reais, os elementos de uma matriz poderiam ser n´meros comu plexos. Vamos introduzir agora alguns tipos especiais de matrizes.

0.1.1

Tipos Especiais de Matrizes

1. Matriz diagonal ´ uma matriz quadrada A = (aij )n×n cujos elementos e fora da diagonal principal s˜o todos iguais a zero, isto ´, aij = 0 se i ̸= j, a e para i = 1, . . . , n e j = 1, . . . , n. Exemplificando:   1 0 0 0  0 2 0 0   √ A=  0 0 3 0  0 0 0 −1 2. Matriz escalar ´ uma matriz diagonal A = (aij )n×n cujos elementos e