matriz

OPERAÇÕES DE MATRIZES
PROF.: LÁSARO TRAJANO

ADIÇÃO
•

Dadas as matrizes
,
chamamos de soma dessas matrizes a matriz
, tal que Cij = aij + bij , para todo
:

• Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.
Propriedades
Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição:
• Comutativa: A + B = B + A
• Associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)
• Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n
• Elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0

SUBTRAÇÃO

MULTIPLICAÇÃO
• Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz
B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij:

Propriedades
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades: • Associativa: x . (yA) = (xy) . A
• Distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB
• Distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA + yA
• Elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A

MATRIZ POR MATRIZ
•

O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos.
Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B =
( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da iésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.

• Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada Cij:
• 1ª linha e 1ª coluna

• 1ª linha e 2ª coluna

• 2ª linha e 1ª coluna

• 2ª linha e 2ª coluna

• Assim:

• Observe que:

•

Vejamos outro exemplo com as matrizes:

• Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:

A matriz produto terá o número de linhas de A
(m) e o número