material de sistemas lineares

SISTEMAS LINEARES
Vários problemas nas áreas científicas e econômica são modelados por sistemas de equações lineares.
Uma equação linear de n incógnitas é da forma:

𝒂 𝟏 𝒙𝟏 + 𝒂 𝟐 𝒙𝟐 + 𝒂 𝟑 𝒙𝟑 + ⋯+ 𝒂 𝒏 𝒙 𝒏 = 𝒃
Na equação acima temos:


𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎 𝑛 são números reais chamados de coeficientes.



𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥 𝑛 são incógnitas.



b real é o termo independente.

Na equação 𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝒛 = 𝟒, por exemplo, temos:


4, −3 𝑒 1 são os coeficientes.



𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧 são as incógnitas.



4 é o termo independente.
SOLUÇÃO de uma equação linear de n incógnitas é a sequência de números reais ou

ênupla

𝛼1 , 𝛼2 , 𝛼3 , … , 𝛼4 , que colocados respectivamente no lugar de (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥 𝑛 )

tornam verdadeira a igualdade 𝐚 𝟏 𝐱 𝟏 + 𝐚 𝟐 𝐱 𝟐 + 𝐚 𝟑 𝐱 𝟑 + ⋯ + 𝐚 𝐧 𝐱 𝐧 = 𝐛.
EXEMPLO:
Considere a equação 3𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 = 3. Uma possível solução para o sistema de incógnitas x, y e z é a terna 4, −2,1 , pois:
3 ∙ 4 + 2 ∙ −2 − 5 ∙ 1 = 3
12 − 4 − 5 = 3
3=3

Professor: Diego Martinelli

 Verifique se os ternos ordenados seguintes são soluções da equação linear 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟑𝒛 =
𝟏𝟏.
a) 1, 3, 2 .
b)

0, 5, 2 .

c)

2, 2, 2 .

 Calcule o valor de m e n para que o par (𝟏, 𝟎) seja solução de:
𝑚𝑥 + 3𝑦 = 4
−2𝑥 + 𝑦 = 𝑛
 Determine o valor de m para que (−𝟏, 𝟏, −𝟐) seja solução da equação 𝒎𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟔.

 Calcule a, de modo que (−𝟏, 𝒂 + 𝟏, 𝟐) seja solução da equação 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝒛 = 𝟎.

Uma equação linear que possui o termo independente igual a zero denomina-se por equação linear homogênea. Como 3𝑥 − 5𝑦 = 0.
 Ache os valores de m para que a equação 𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝒛 = 𝒎² − 𝟒 seja homogênea.

Uma equação linear NÃO apresenta termos da forma 𝑥1 ² ou 𝑥1 ∙ 𝑥2 , ou seja, cada termo da equação linear apresenta uma única incógnita, cujo expoente é 1.
Duas equações são ditas equivalentes quando têm as mesmas soluções.