Material de calculo

11) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. Solução: Em uma questão como esta, é prudente desenhar dois diagramas: um do sólido tridimensional e outro da região plana D sobre a qual o sólido está. Igualando as equações dos planos, duas a duas, obtemos as retas que contém as arestas do tetraedro:

z (0, 0, 2) T

y x + 2y = 2 1 x + 2y + z = 2 D ½

x = 2y

(0, 1, 0)

y x = 2y

1

x

x

(1, ½, 0)

A figura acima, à esquerda, mostra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados x = 0, z = 0, o plano vertical x = 2y e o plano x + 2y + z = 2. Como x + 2y + z = 2 intercepta o plano xy (de equação z = 0) na reta x + 2y = 2, vemos que T está sobre a região triangular D, do plano xy, limitada pelas retas x = 2y, x + 2y = 2 e x = 0. O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como z = 2 – x – 2y e a região D como: D = { (x,y) | 0 < x < 1, x/2 < y < 1 – x/2 }. Portanto o volume de T é:

V = ∫∫ (2 − x − 2 y )dA = ∫
D 1

x 1 1− 2 0 x/2

2 ∫ (2 − x − 2 y)dydx = ∫ [2y − xy − y ]x 1 0

1− x 2

2

dx

  x   x   x 2 x2 x2  = ∫ 21 −  − x1 −  − 1 −  − x + + dx 2  2  2 2 4  0    1  x2 x2 x2 x2  dx = ∫2 − x − x + −1 + x − −x+ +  2 4 2 4   0  x3  1 2 = ∫ 1 − 2 x + x dx =  x − x +  = 3 0 3  0
1

(

2

)

1

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PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS:

1) ∫∫ [f ( x , y) + g( x , y)]dA = ∫∫ f ( x , y)dA + ∫∫ g( x, y)dA
D D D

2) ∫∫ cf ( x, y)dA = c ∫∫ f ( x , y)dA , onde c é uma constante
D D

3) ∫∫ f ( x , y)dA = ∫∫ f ( x , y )dA + ∫∫ f ( x , y )dA , se D = D1 ∪ D2, onde D1 e D2 não se sobrepõem exceto, possivelmente, nas D D1 D2 fronteiras. 12) Expresse, de duas maneiras, as integrais iteradas que resolvem

∫∫ 2y cos xdA , onde D é a região do
D

π plano xy limitada pelos gráficos de x = , y = 1, y = 3, 3y + x = 10 e x = y2. 6

Solução: No gráfico abaixo, aparecem as curvas que formam a fronteira de D. y =3 x =π/6

3
3y + x = 10

D x =