Matemática

MA12 - Unidade 13 Triˆngulo de Pascal e Binˆmio de Newton a o
Paulo Cezar Pinto Carvalho
PROFMAT - SBM

4 de Maio de 2013

Triˆngulo de Tartaglia-Pascal a
0 C0 0 C1 0 C2 0 C3 0 C4 0 C5 ... 1 1 1 1 1 1 ... 1 C1 1 C2 1 C3 1 C4 1 C5 ...

2 C2 2 C3 2 C4 2 C5 ...

3 C3 3 C4 3 C5 ...

4 C4 4 C5 ...

5 C5 ...

...

1 2 3 4 5 ...

1 3 6 10 ...

1 4 10 ...

1 5 ...

1 ...

...

PROFMAT - SBM

MA12 - Unidade 13, Triˆngulo de Pascal e Binˆmio de Newton a o

slide 2/3

Triˆngulo de Tartaglia-Pascal a
Alternativamente:
C0 1 C1 3 C2 5 C0 0 C1 2 C2 4 ... C1 1 C2 3 C3 5

C0 5 ...

C0 4 ...

C0 3 C1 5

C0 2 C1 4 ...

C2 2 C3 4 ...

C2 3 C4 5

C4 4 ...

C5 5 ...

1 1 1 1 1 1 ...
PROFMAT - SBM

1 2 1 3 6 4 10 ... ... 5 ... 1 1 1 ... slide 3/3

3 4 10 ...

5 ...

MA12 - Unidade 13, Triˆngulo de Pascal e Binˆmio de Newton a o

Rela¸˜o de Stifel ca p p+1 p+1 Cn + Cn = Cn+1 .

Prova: Contar de dois modos diferentes os subconjuntos com p + 1 elementos de {1, 2, . . . , n, n + 1}: diretamente; contando separadamente os subconjuntos incluindo ou excluindo n + 1.
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Teorema das linhas
0 1 2 n Cn + Cn + Cn + . . . + Cn = 2n

Prova: Contar de dois modos diferentes os subconjuntos de {1, 2, . . . , n}: diretamente; contando separadamente os subconjuntos de cada cardinalidade.
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Combina¸˜es complementares co p n−p Cn = Cn (termos de uma mesma linha equidistantes dos extremos s˜o iguais). a

Prova: escolher um subconjunto com p elementos equivale a escolher seu complementar.
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Binˆmio de Newton o

n

(x + a)n = =

p Cn ap x n−p p=0 0 Cn a0 x n 1 2 n + Cn a1 x n−1 + Cn a2 x n−2 + · · · + Cn an x 0 .

Prova:
Considere o produto (x + a)n = (x +