Matemática

A integral definida
Prof. Méricles Thadeu Moretti
MTM/CFM/UFSC.

4 - INTEGRAL DEFINIDA - CÁLCULO DE ÁREA
Já vimos como calcular a área de um tipo bem específico de região para algumas funções no intervalo [0, t]. O Segundo Teorema Fundamental do Cálculo estabelece uma relação que nos permitirá calcular a área em um intervalo qualquer.

Resultado_5: Segundo Teorema Fundamental do Cálculo
Seja f é contínua em um intervalo fechado I. Se P é derivável no intervalo aberto I e
P´(x) = f(x), então para cada a, b em I: b  f (x)dx  P(x)

b a  P(b)  P(a)

a

a é o limite inferior de integração e b o superior, f(x) é o integrando. Esta integral é chamada Integral de Newton [4, p.255].

1

Exemplo 4. Calcular

 xdx

1

Primitiva de f(x): P(x) 

x2
C
2

(pois P´(x) = f(x) = x)
A integral no intervalo [-1, 1] vale:
1

x2
12
(1)2
 xdx ( 2  C)  ( 2  C)  ( 2  C)
1
1
1

1
1
 (  C)  (  C)  0
2
2

A Integral de Newton calculada no intervalo [-1, 1] é nula, mas a área, como podemos perceber na figura, não é. O cálculo da integral de Newton não depende do valor da constante C e por esta razão podemos usar as primitivas com C = 0.

4.1 – Propriedades da Integral de Newton
As integrais de Newton gozam das seguintes propriedades
P1.

P.2

P.3

b

b

b

a

a

a

 [f (x)  g(x)]dx   f (x)dx   g(x)dx b b

a

a

 kf (x)dx  k  f (x)dx, k constante. c b

c

a

a

b

 f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx, a  b  c .

4.2 - Cálculo de área
Indicamos a seguir como calcular a área de uma região mostrada na figura a seguir. Sejam f e g integráveis no intervalo [a, b]. A área entre as curvas f e g neste intervalo vale (em unidades de área): b A(a, b) =  [(g(x)  f (x)]dx a Observamos que A(a, b) ≥ 0 e A(a, a) = 0, estas são características importantes que devem ter a primitiva para o cálculo da área. É preciso ter cuidado com os limites
de