matemática

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Capítulo V: Derivação

Esboço de gráficos:

Para esboçar o gráfico de uma função deve-se sempre que possível seguir as seguintes etapas: •

Indicar o domínio;

•

Determinar os zeros (caso existam);

•

Estudar a paridade;

•

Estudar a continuidade;

•

Identificar as assímptotas;

•

Estudar a monotonia e indicar os extremos relativos;

•

Determinar o sentido das concavidades do gráfico e indicar os pontos de inflexão. •

Depois destas “etapas cumpridas” tenta-se esboçar o gráfico, indicando por último o contradomínio.

Exercício:
Considere a função definida por:
1
−
⎧
⎪1 + x + e x f (x ) = ⎨
⎪
0
⎩

se se x≠0 x=0 1) Faça o estudo da função referindo os seguintes aspectos:
a) Domínio

f) Extremos relativos

b) Paridade

g) Intervalos de monotonia

c) Continuidade

h) Pontos de inflexão e

d) Assímptotas

i) Concavidades

e) Pontos críticos
2) Faça um esboço do gráfico de f .
3) Indique o contradomínio de f .

Resolução:
a)
1. Domínio: IR

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Capítulo V: Derivação

2. Paridade:
1
x

f (− x ) = 1 − x + e ≠ f ( x )

∀x ≠ 0

1

f (− x ) = 1 − x + e x ≠ − f ( x )

∀x ≠ 0

f não é par nem ímpar.

3. Continuidade
Se x ≠ 0 , f é continua porque é soma de uma função polinomial 1 + x com a função e

−

1 x racional, −

sendo que esta é a composta da função exponencial com uma função

1
.
x

1
1
− ⎞
− ⎞
⎛
⎛
Se x = 0 então lim− ⎜1 + x + e x ⎟ = 1 + ∞ = +∞ e lim+ ⎜1 + x + e x ⎟ = 1 + 0 = 1 .
⎟
⎟ x→ 0 ⎜ x→ 0 ⎜
⎝
⎠
⎝
⎠

Como lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) , f é descontínua em x = 0 .
−
+ x →0

x →0

Conclusão: f é contínua em IR \ {0} .

4. Assímptotas:
•

Assímptotas verticais:
Pontos onde pode existir assímptotas verticais: x = 0 .
Já vimos que:
1
− ⎞
⎛
lim− ⎜1 + x + e x ⎟ = 1 + ∞ = +∞ ;
⎟
x→ 0 ⎜
⎝
⎠

1
− ⎞
⎛
lim+ ⎜1 + x + e x ⎟ = 1 + 0 = 1
⎟
x→ 0 ⎜
⎝
⎠

∴ x = 0 é uma assímptota vertical (unilateral)