Matemática

Construir um resumo teórico que contenha os principais aspectos sobre o conceito de Derivadas.

O conceito de derivada está relacionado, geometricamente, com o conceito da reta tangente a uma curva. A noção de tangência é importante no cotidiano. Um exemplo de aplicação, do ponto de vista da Dinâmica, é o conceito da velocidade escalar (instantânea). A velocidade escalar é uma derivada. A aceleração também é. Note que, tanto na velocidade escalar quanto na aceleração, a derivada é vista como uma taxa de variação, ou seja, é a medida da evolução de uma grandeza, quando outra, da qual ela depende, varia. A velocidade, por exemplo, é a taxa de variação do espaço percorrido por um objeto com relação ao tempo.

Um dos problemas que originaram o estudo do cálculo diferencial foi a determinação da tangente a uma curva num de seus pontos (Figura 1). Sabemos que a tangente à uma circunferência num ponto é definida como uma reta que tem um ponto comum com a circunferência e todos os outros exteriores ao circulo determinado pela circunferência.

Figura 1: Tangente a uma curva num ponto

Por outro lado, verifica-se que esta definição não serve para qualquer curva. Figura 2: Retas tangentes a curvas em pontos definidos
Observe que reta t1, tangente à curva no ponto A, intercepta a curva também no ponto B, a reta t2 não é tangente à curva mas tem com esta um único ponto em comum. Problemas como esse desafiaram durante muito tempo a inteligência dos matemáticos que, buscando sua solução, contribuíram para o desenvolvimento da Matemática. Para estudar esse problema, vamos trabalhar com o gráfico de uma função.
A RETA TANGENTE

Considere a curva que representa o gráfico de uma função (Figura 3) contínua f indicada por y = f(x). Sejam xo e f(xo) as coordenadas do ponto A onde se deseja traçar uma reta tangente: Figura 3: Reta tangente a um ponto A de uma função f Tomemos agora outro ponto B do gráfico de f, cuja abscissa representaremos por