Matemática

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Solu¸oes dos Exerc´ c˜ ıcios
Cap´ ıtulo 1
1.1a) Suponha que x + y ∈ Q − R. Ent˜o x + y ∈ R ou y = r − x. Da´ y ∈ Q, pois / a ı, r − x ∈ Q, o que contradiz a hip´tese de que y ∈ Q − R. o r b) Suponha que xy ∈ R − Q. Ent˜o xy = r ∈ Q ou y = . Da´ y ∈ Q, pois / a ı, x r ∈ Q o que condradiz a hip´tese de que y ∈ Q − R. o x c) Temos: y =y·1=y·x· d) Temos: Logo: 1 1 1 = xy · = 0 · = 0 ⇒ y = 0 x x x

√ √ ( x − y)2 ≥ 0, ∀x ≥ 0 e ∀y ≥ 0 √ √ √ √ √ √ ( x − y)2 = x − 2 x y + y = x + y − 2 x y ≥ 0 x+y √ √ ⇒ x + y ≥ 2 xy ⇒ xy ≤ 2

e) Temos: |a − b| = |a + (−b)| ≤ |a| + | − b| = |a| + | − 1 · b| = |a| + | − 1||b| = |a| + |b| ⇒ |a − b| ≤ |a| + |b|, ∀a, b ∈ R f ) Temos: |a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b| |a| − |b| ≤ |a − b| Por outro lado, |b| = | − 1||b| = | − b| = | − a + a − b| = |a − b − a| ≤ |a − b| + |a| ⇒ −|a − b| ≤ |a| − |b| Por (1) e (2) segue que: −|a − b| ≤ |a| − |b| ≤ |a − b| ou equivalentemente: ||a| − |b|| ≤ |a − b|, ∀a, b ∈ R (2) (1)

2 g) Temos: |a| = |a + b − b| ≤ |a + b| + |b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a + b| ⇒ |a + b| ≥ |a| − |b|, ∀a, b ∈ R h) Basta mostrar que: |a| |b| |a + b| + − ≥ 0, 1 + |b| 1 + |b| 1 + |a + b| De fato, |b| |a + b| |a| + − = 1 + |b| 1 + |b| 1 + |a + b| = |a|(1 + |b|)(1 + |a + b|) + |b|(1 + |a|)(1 + |a + b|) − |a + b|(1 + |a|)(1 + |b|) (1 + |a|)(1 + |b|)(1 + |a + b|) ∀a, b ∈ R

Note que, |a|(1 + |b|)(1 + |a + b|) + |b|(1 + |a|)(1 + |a + b|) − |a + b|(1 + |a|)(1 + |b|) = = |a| + |a||a + b| + |a||b| + |a||b||a + b| + |b| + |b||a + b| + |a||b| + |a||b||a + b|− −|a + b| − |b||a + b| − |a||a + b| − |a||b||a + b| = |a| + |b| + 2|a||b| + |a||b||a + b| − |a + b| Da´ ı, |a| |b| |a + b| |a| + |b| + 2|a||b| + |a||b||a + b| − |a + b| + − = ≥ 1 + |b| 1 + |b| 1 + |a + b| (1 + |a|)(1 + |b|)(1 + |a + b|) |a| + |b| + 2|a||b| + |a||b||a + b| − |a| − |b| = ≥ (1 + |a|)(1 + |b|)(1 + |a + b|) 2|a||b| + |a||b||a + b| = ≥0 (1 + |a|)(1 + |b|)(1 + |a + b|) ⇒ |a| |b| |a + b| + − ≥ 0 ∀a, b ∈ R 1 + |b| 1 + |b| 1 + |a + b|

1.2a) Se a < b ent˜o, max{a, b} = b. Logo: a