matemática

Introdução à Topologia – Resoluções de exercícios
Capítulo 1
Exercício nº5 (alíneas 3. e 4.)
É imediato, directamente a partir da definição, que, dados r, s ∈ Q, dp (r, s)
0 e que dp (r, s) = 0 se e só se r = s. Para demonstrar que dp (r, s) = dp (s, r), observe-se que esta igualdade é trivial se r = s; caso contrário, se se escrever: r − s = pvp (r−s) ·

a b com (a, p) = (b, p) = 1, então tem-se: s − r = pvp (r−s) ·

−a b e (−a, p) = (b, p) = 1. Sendo assim, é claro que vp (s − r) = vp (r − s) e, portanto, que dp (r, s) = dp (s, r). Finalmente, pretende-se demonstrar que se t ∈ Q, então dp (r, t)

max{dp (r, s), dp (s, t)}.

(1)

Antes de se passar à demonstração desta afirmação, observe-se que ela implica que se tem dp (r, t) dp (r, s) + dp (s, t). Por outro lado, ao demonstrar-se (1), pode-se supor que r, s e t são distintos dois a dois.
De facto, se r = t, então (1) reduz-se a 0 max{dp (r, s), dp (s, t)} e se r = s ou s = t, então (1) reduz-se a dp (r, t) dp (r, t). Será então suposto que r, s e t são dois a dois distintos; pretende-se provar que
|r − t|p

max{|r − s|p , |s − t|p },

ou seja, mostrar que vp (r − t)

min{vp (r − s), vp (s − t)}.

Sejam α = r − s e β = s − t. Com esta notação, pretende-se mostrar que vp (α+β) min{vp (α), vp (β)}. Sejam a, b, c, d ∈ Z números primos com p tais que: α = pvp (r−s) ·

c a e β = pvp (s−t) · · b d

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Introdução à Topologia

Vai-se supor que vp (α) vp (β). Tem-se então:

vp (β); a demonstração é análoga se vp (α) c a
+ pvp (β) · b d a + pvp (β)−vp (α) c
= pvp (α)
·
b.d

α + β = pvp (α) ·

(2)

Sejam n ∈ Z+ e e ∈ Z tais que (e, p) = 1 e que
(3)

a + pvp (β)−vp (α) c = pn .e; seja f = b.d. Então (f, p) = 1 e deduz-se de (2) e de (3) que: e α + β = pvp (α)+n · ; f logo, vp (α+β) = vp (α)+n = min{vp (α), vp (β)}+n

min{vp (α), vp (β)}.

Exercício nº9
Sejam x, y ∈ E; pretende-se mostrar que d(x, y) var que 0 = d(x, x) d(x, y) + d(y,