Matemática 87

Primeira lista de exerc´ ıcios valendo nota
Roberto Imbuzeiro Oliveira∗
13 de Janeiro de 2010
No que segue, F = R ou C e H ´ Hilbert sobre F com produto interno (·, ··). e Exerc´ ıcio 1 Sejam W, V ⊂ H subespa¸os fechados com W ⊥ ⊂ V . Mostre que V ⊥ ⊂ W . c Exerc´ ıcio 2 Seja P : H → H linear e limitado. Prove que P ´ a proje¸˜o ortogonal em e ca algum subespa¸o fechado Y ⊂ H se e somente se P 2 = P e P ´ auto-adjunto. c e
Exerc´
ıcio 3 Suponha que h´ D = {di }i∈N ⊂ H denso e enumer´vel com 0 ∈ D. Suponha a a ainda que H tem dimens˜o infinita. Defina n1 = 1, b1 = d1 / d1 , V1 ≡ span({b1 }) e a indutivamente para k ≥ 2:
• nk = min{n ∈ N : n > nk−1 , dn ∈ Vk−1 };
• bk =

dnk −Πk−1 dnk dnk −Πk−1 dnk

onde Πk−1 ´ a proje¸˜o ortonormal em Vk−1 ; e ca

• Vk ≡ span{b1 , . . . , bk }.
Mostre que {bk }k∈N ´ bem-definida e ´ uma base ortonormal de H. e e
Exerc´
ıcio 4 Sejam {ei }i∈I uma base ortonormal de H e {λi }i∈I ⊂ F uma seq¨ˆncia limiue tada. 1. Prove que existe um unico operador linear limitado A : H → H tal que Aei = λi ei
´
para todo i ∈ I.
2. Determine condi¸˜es necess´rias e suficientes sobre os λi para que A seja autoco a adjunto.
3. Determine condi¸oes necess´rias e suficientes sobre os λi para que A seja compacto. c˜ a
Exerc´
ıcio 5 Prove que existe um c > 0 tal que para todo H Hilbert e todo T : H → H linear, limitado e auto-adjunto, sup |(v, T v)| ≤ T

H→H

v∈H, v ≤1
∗

≤c

sup v∈H v ≤1

IMPA, Rio de Janeiro, RJ, Brazil, 22430-040. [e-mail]

1

|(v, T v)|.