matematica

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
PROFMAT
DISCIPLINA: MA12
ALUNO: EDUARDO CAVALCANTI

EXERCÍCIOS RECOMENDADOS 3.3

1. Mostre, por indução, a validez das seguintes fórmulas:
(a) 1 2  2  2  3  2 
0

1

2

 n  2n1  1  (n  1)  2n

Dem.: Vamos provar que é verdadeira, para todo n 

, a fórmula:

 n  2n1  1  (n  1)  2n .

P(n) : 1 20  2  21  3  22 

Observemos inicialmente que P(1) : 1 2  1  0  2 é verdadeira.
0

Suponhamos que, para algum n 

1

, tenhamos P(n) verdadeira. Somando

(n  1)  2( n1)1 a ambos os lados dessa igualdade, temos:
1 20  2  21  3  22 

 n  2n1  (n  1)  2( n1)1  1  (n  1)  2n  (n  1)  2( n1)1 

1  (n  1)  2n  (n  1)  2n  1  (n  1  n  1)  2n  1  2  n  2n  1  n  2n1 , mostrando assim, que P(n  1) é verdadeira.
Portanto, a fórmula é valida para todo n 

2

1 
 1  1  
(b) 1  1   ... 1 

 1  2   n  1 

n 1



.

n n1
 n  1!

Dem.: Queremos validar a fórmula

 1  1 
P(n) : 1  1  
 1  2 

2

1 

1 

 n 1 

n 1

nn1

 n  1!

Note que n  1  0 , ou seja, n  1 . Dessa forma, vamos mostrar a validez para n  2 . Observemos que

1 

P(2) : 1 

 2 1 

2 1



221
 1 2
 1   
 2  1!  1  1!

é verdadeira.
Agora, suponhamos que para algum natural n  2 , tenhamos P(n)



1 verdadeira. Multiplicando 1 

 (n  1)  1 

 n 11

a ambos os lados da igualdade P(n) ,

temos:

 1  1 
1  1  
 1  2 

2

1 

1 

 n 1 

n 1



1
1 

 (n  1)  1 

 n 11

 nn1 
1

 1 

 n  1!  (n  1)  1 

 n 11

nn1  1  n n1 (n  1)n n n1  (n  1)n
(n  1) n
,
 1



 n!  n  1!  n   n  1! nn
 n  1! n  nn1 n mostrando assim a veracidade de P(n  1) .
Portanto, a fórmula é valida para todo