matematica

Lei dos Cossenos
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Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. A saber:

a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot c \cdot \cos \widehat{A} b^2 = a^2 + c^2 - 2a \cdot c \cdot \cos \widehat{B} \,\!: c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot \cos \widehat{C} \,\!
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Demonstração

Esta é uma das maneiras de demonstrar a lei dos cossenos.
Considerando a figura, podemos observar três triângulos: ABC, BCD, BAD \,\!.

Demons cossenos
Demons cossenos (Photo credit: Wikipedia)
Destes, pode-se extrair as seguintes relações: b = n + m \,\! e m = c \cdot \cos \widehat{A} \,\!.
Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:

Para BCD \,\!: a^2 = n^2 + h^2 \,\!
Para BAD \,\!: c^2 = m^2 + h^2 \,\!
Substituindo n = b - m \,\! e h^2 = c^2 - m^2 \,\! em a^2 = n^2 + h^2 \,\!:

a^2 = (b - m)^2 + c^2 - m^2 \,\!

\Rightarrow a^2 = b^2 - 2b \cdot m + m^2 + c^2 - m^2 \,\!

\Rightarrow a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot m \,\!
Entretanto, pode-se substituir a relação m = c \cdot cos \widehat{A} \,\!, do triângulo BAD \,\!, na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot c \cdot \cos \widehat{A} \,\!

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

b^2 = a^2 + c^2 - 2a \cdot c \cdot \cos \widehat{B} \,\!

c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot \cos \widehat{C} \,\!

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Aplicação

A Lei dos Cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triângulo conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do ângulo oposto a esse. Ela também permite calcular todos os ângulos de um triângulo, desde que se saiba o comprimento de todos os lados.

Exemplos

Considere um triângulo de lados p\!\,, q\!\, e r\!\,, sendo que o comprimento de p\!\, é 2 metros e o comprimento de q\!\, é \sqrt{3}\,\! metros.