Matematica

Aula 15
Integrais inde¯nidas
15.1

Antiderivadas

Sendo f (x) e F (x) de¯nidas em um intervalo I ½ R, dizemos que
F ¶e uma antiderivada ou uma primitiva de f , em I, se F 0 (x) = f(x) para todo x 2 I.
Ou seja, F ¶e antiderivada ou primitiva de f se F ¶e uma fun»c~ao cuja derivada ¶e f.
Como primeiros exemplos, temos f(x) 3x2
2
ex sen x

primitiva de f (x) x3 2x ex ¡ cos x

Observa»c~ ao 15.1 Se F ¶e antiderivada de f em I, e c ¶e uma constante, ent~ao F + c tamb¶em ¶e uma antiderivada de f em I.
De fato, se F 0 (x) = f (x), para todo x 2 I, ent~ao
[F (x) + c]0 = F 0 (x) = f (x), e portanto F (x) + c tamb¶em ¶e uma antiderivada de f (x) em I. p Assim, por exemplo x3 , x3 + 5 e x3 ¡ 2 s~ao primitivas de 3x2 .
Veremos agora que, em um intervalo I, duas primitivas de uma mesma fun»c~ao diferem entre si por uma constante.
Proposi»c~
ao 15.1 Se F1 e F2 s~ao antiderivadas de f , em I ½ R, ent~ao existe c 2 R tal que F1 (x) = F2 (x) + c, para todo x 2 I.
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Integrais indefinidas
Para demonstrar a proposi»c~ao 15.1, faremos uso do seguinte resultado.

Lema 15.1 Se f ¶e cont¶³nua no intervalo [a; b] e f 0 (x) = 0 para todo x 2]a; b[, ent~ao f ¶e constante em [a; b], ou seja, existe c 2 R tal que f (x) = c para todo x 2 [a; b].
Poder¶³amos aceitar o lema 15.1 como evidente e seguir adiante. No entanto, este lema ¶e conseqÄu^encia de um teorema importante sobre fun»c~oes deriv¶aveis, conhecido como teorema do valor m¶edio. Como tornaremos a fazer uso do teorema do valor m¶edio mais adiante, julgamos oportuno cit¶a-lo agora.
Teorema 15.1 (Teorema do valor m¶ edio) Suponhamos que f ¶e uma fun»c~ao cont¶³nua no intervalo [a; b] e deriv¶avel no intervalo ]a; b[. Ent~ao existe w 2 ]a; b[ tal que f (b) ¡ f (a)
= f 0 (w) b¡a Aceitaremos este teorema sem demonstra»c~ao, e faremos uma interpreta»c~ao geom¶etrica de seu resultado. f (b) ¡ f(a)
¢f
¶e a taxa de varia»c~ao m¶edia,
, da fun»c~ao f , no interO quociente
b¡a